1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 7. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. Можно ли так расположить на плоскости 7 отрезков, чтобы каждый из них пересекался со всеми остальными, кроме какого-то одного?
3. В полку меньше тысячи солдат. Полковник хочет построить их на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить по 19 солдат в каждой шеренге, но опять не хватило одного солдата. Сумеет ли полковник поставить по 20 солдат в каждой шеренге?
4. Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге замкнутую ломаную линию длины 2008, идущую по линиям сетки и охватывающую 2008 клеток?
5. В языке племени δεβαγ есть две гласных буквы (α и ε) и три согласных (β, γ и δ). Ни в одном слове этого языка нет ни двух подряд одинаковых букв, ни трех подряд согласных, ни двух одинаковых слогов. Каждый слог обязательно включает гласную букву, а также предшествующую ей согласную (если она там есть). Если между двумя гласными стоят подряд две согласные, то они относятся к разным слогам. Какое наибольшее число букв может иметь слово этого языка?
6. Шахматная доска имеет форму квадрата 8х8, клетки которой поочередно закрашены в черный и белый цвета. Новая фигура «динозавр» бьет все клетки противоположного цвета, не лежащие вместе с ним на одной вертикали, горизонтали или диагонали. В какую клетку нужно поставить динозавра, чтобы он бил как можно большее число клеток?