1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 10. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. На чертеже провели стороны, диагонали и все средние линии параллелограмма. Затем буквами обозначили концы и пересечения проведенных отрезков. Сколькими способами можно выбрать трой ку букв, соответствующие которым точки лежат на одной прямой?
3. Постройте треугольник, длины сторон которого измеряются различными целыми числами, а один из углов равен 60°. Докажите, что существует бесконечно много таких треугольников, не подобных между собой.
4. Постройте на координатной плоскости Opq множество точек (p;q), отвечающих трехчленам x²+px+q, разность корней которых равна 2008.
5. Астероид имеет форму параллелепипеда. В двух его противоположных вершинах находятся одинаковые волки. Каждый волк контролирует ту часть поверхности, в пределах которой он может добежать в любую точку быстрее своего антипода. При каком соотношении между размерами параллелепипеда в распоряжении каждого волка целиком окажется какая-то из граней?
6. Сколько цифр содержит десятичная запись числа 2008²⁰⁰⁸ ?