1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 11. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. Не пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,001 стороны прямоугольника, периметр и площадь которого равны 2008.
3. Постройте треугольник, длины сторон которого измеряются различными целыми числами, а один из углов равен 60°. Докажите, что существует бесконечно много таких треугольников, не подобных между собой.
4. Известно, что значения двух многочленов не совпадают ни в одной точке, кроме двух их общих корней. Какое наименьшее число корней может иметь производная их произведения?
5. Существует ли многогранник, объем, площадь поверхности и сумма длин всех ребер которого равны 2008?
6. Какое наибольшее число граней правильного икосаэдра может пересечь плоскость?