1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 12. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. На чертеже провели стороны, диагонали и все средние линии параллелограмма. Затем буквами обозначили концы и пересечения проведенных отрезков. Сколькими способами можно выбрать трой ку букв, соответствующие которым точки не лежат на одной прямой?
3. Постройте треугольник, длины сторон которого измеряются целыми числами, а один из углов равен 120°. Докажите, что существует бесконечно много таких треугольников, не подобных между собой.
4. Известно, что значения двух многочленов не совпадают ни в одной точке, кроме двух их общих корней. Какое наименьшее число корней может иметь производная их произведения?
5. Какое наибольшее число граней правильного додекаэдра может пересечь плоскость?
6. Существует ли параллелепипед, объем, площадь поверхности и сумма длин всех ребер которого равны 2008?