Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Задачи для 10 класса

1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее n, при котором это возможно.
2. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные – синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите n.
3. Вершины правильного многоугольника занумеровали по порядку. Одну из вершин соединили отрезками с 1-й и 2011-й. Оказалось, что угол между этими отрезками равен 30º. Сколько сторон у этого правильного многоугольника?
4. Найдите наименьшее значение суммы нескольких натуральных чисел, сумма попарных произведений которых равна 2011.
5. Найдите все целые n, для которых
.
6. Известно, что 0≤x≤y≤z≤1 , (1─x)(1─y)=2/3 , (1─y)(1─z)=1/3. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения (1─x)(1─z).
Tags: олимпиада
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 3 comments