Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Задачи для 9 класса

1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее n, при котором это возможно.
2. Вершины правильного многоугольника занумеровали по порядку. Одну из вершин соединили отрезками с 1-й и 2011-й. Оказалось, что угол между этими отрезками равен 30º. Сколько сторон у этого правильного многоугольника?
3. Найдите не менее трёх простых чисел, каждое из которых записывается как 2011 в системе счисления с некоторым основанием d (и укажите подходящие основания).
4. Занумеруем стороны правильного пятиугольника по кругу: на втором обходе первая сторона получит номер 6, вторая – 7 и т.д. Через центр пятиугольника проведем прямую параллельно первой стороне до пересечения с предыдущей. Через точку пересечения проведем прямую, параллельную третьей стороне пятиугольника, до второго ее пересечения с границей пятиугольника. Через новую точку пересечения проведем прямую, параллельную пятой стороне пятиугольника, до второго ее пересечения с границей пятиугольника. Повторяем это построение, на каждом шаге увеличивая на 2 номер стороны пятиугольника, параллельно которой проводим очередной отрезок. Докажите, что полученная ломаная вскоре замкнется. Сколько звеньев будет иметь замкнутая ломаная? Сколько у нее будет точек самопересечения?
5. У Коли есть 8 кубиков, грани которых единообразно закрашены в 6 разных цветов. Коля хочет сложить из них куб вдвое большего размера так, чтобы каждая его грань складывалась из четвертинок одного и того же цвета. Сколько различных цветов может при этом оказаться на поверхности большого куба?
6. Один фермер привёз на рынок 71 тонну масла, которое он хотел бы продать по 55 евро за тонну, и 73 тонны сыра по 59 евро за тонну. У другого фермера 73 тонны масла по 56 евро за тонну и 75 тонн сыра по 58 евро за тонну. Каждый фермер согласен отдать весь свой товар, если итоговая сумма совпадёт с той, которую он намеревался выручить за всю партию. Перекупщик хочет скупить обе партии товара, назначив одни и те же для обоих фермеров цены масла и сыра. Какие именно цены он должен назначить, чтобы скупить обе партии товара?
Tags: олимпиада
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments