Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Задачи 1 тура для 8 класса

1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны числа от 1 до 12. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открывают. Если на одной из карточек Марка хотя бы два из четырёх отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть?
2. Дан прямоугольник ABCD. На луче DC отложен отрезок DK, равный BD. Точка М - середина отрезка BK. Докажите, что AM - биссектриса угла BAC.
3. У фокусника есть два комплекта по 8 карточек. На розовых карточках записаны целые числа от 0 до 7. На первой голубой карточке написано 1, а число на каждой следующей голубой карточке в 8 разбольше предыдущего. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с голубой). Затем зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех 8 произведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно получиться простое число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого объединить в пары (или докажите, что у него ничего не получится).
4. На плоскости нарисовали 5 красных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все середины отрезков между ними отметили синим цветом. Расположите красные точки так, чтобы синих точек было минимально возможное количество. (Точка может оказаться красной и синей одновременно.)
5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 88. Какова минимально возможная сумма модулей разностей между соседними числами?
6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены - разные. Смогут ли Том и Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp october 24, 07:13 32
Buy for 10 tokens
Им нет числа. Случаются разные лузеры, но я побил все рекорды. Теперь уже пришло время подвести итоги, что я сейчас и делаю. Для начала, в 1968 году я стал победителем 10 ММО. Даже простое участие в ней давало мне право поступить без экзаменов в любой вуз СССР. Ради широкой карьеры математика…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments