Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 8 класса (13-я олимпиада)

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1160257.html .

1. Условие не запрещает класть одну коробку внутрь другой. Тогда какие-то карандаши окажутся сразу в двух коробках (или даже большем их числе). Именно эта возможность позволяет преодолеть «дефицит» карандашей. С учётом этого замечания легко найти много решений. Например, в одну коробку положить один карандаш. Её положить во вторую коробку и добавить туда ещё один карандаш. И т.д., а в последнюю коробку положить все оставшиеся карандаши. В итоге в первой коробке окажется один карандаш, во второй – два, в третьей – три и т.д., а в последней – все.

2. Рассмотрим наилучшую (в смысле условия задачи) расстановку фишек. Если фишки какого-то цвета окажутся в ней не на соседних вертикалях или горизонталях, то можно их переставить целыми вертикалями или горизонталями (изменить их нумерацию). После такой перестановки число фишек не изменится, но, например, все жёлтые будут стоять рядом с левым нижним углом квадрата, красные – рядом с правым верхним, а синие – где-то в центре квадрата. Ясно, что каждая из трёх групп фишек одного цвета образует прямоугольник, возможно, шириной в одну вертикаль или высотой в одну горизонталь (если это не так, то внутри какого-то прямоугольника можно будет добавить фишку, что противоречит условию). Рассмотрим теперь самый большой по ширине прямоугольник. Если его высота больше одной горизонтали, то можно уменьшить общее количество фишек, уменьшив высоту этого прямоугольника за счёт увеличения высоты любого из двух других прямоугольников. Значит, самый большой по ширине прямоугольник должен иметь высоту в одну горизонталь. Аналогично, самый большой по высоте прямоугольник должен иметь ширину в одну вертикаль. Наконец, третий прямоугольник по тем же причинам должен иметь либо высоту в одну горизонталь, либо ширину в одну вертикаль.
Ответ: 13 фишек.

3. Подставим х=0, у=−1, z=1. Получим −2010. Но сумма квадратов не может быть отрицательной.
Ответ: прав Коля.

4. Так как любые две из его моделей отличаются либо по размеру, либо по форме, либо по цвету, либо сразу по нескольким признакам, то число моделей не может превысить числа комбинаций по три признака, т.е. 5х4х3=60. Условие «…их количество попарно различно» подсказывает, что удобно занумеровать цвета по возрастанию числа моделей каждого цвета. Тогда число моделей пятого цвета не больше 3х4=12, второго – не больше 11 и т.д., а всех вместе – не меньше 12+11+10+9+8=50.
Остаётся привести пример, когда их ровно 50. Легче перечислить 10 недостающих: МЦЖ, СШЖ, СКЖ, СКС, КПЖ, КПС, КПК, КПБ, КЦК, КЦБ. В этих аббревиатурах на первом, втором и третьем местах стоят первые буквы размера, формы или цвета соответственно. Легко проверить, что все аббревиатуры различны, а среди отсутствующих в этой коллекции есть 1 мелкая, 3 средних и 6 крупных моделей, 1 шар, 2 куба, 4 пирамиды и 3 цилиндра, 4 жёлтых, 3 синих, 2 красных, 1 белая и ни одной зелёной модели.
Ответ: 50.

5. Сначала разложим на множители: 2013=3х11х61. Так как множители взаимно просты, то делимость на 2013 равносильна делимости на каждый из них. Так как 122=2х61, то на 61 будут делиться все числа последовательности. Так как 122122 делится на 11, то на 11 будут делиться все числа с чётными номерами. Наконец, используем признак делимости на 3. Так как сумма цифр каждого числа последовательности в 5 раз больше его номера, то номер должен делиться на 3. Итак, наименьший нужный номер – 6.
Ответ: 6.

6. У каждого из игроков 8 соперников, то есть 8 партий. Турнир идёт в течение 4 дней, значит, каждый день каждый игрок должен играть по 2 партии, то есть с 2-мя соперниками. Всего 9 человек и 3 города, следовательно, в каждом городе играет по 3 человека каждый день. Тогда задача сводится к тому, чтобы в каждый день разбить всех шахматистов на группы по 3 человека, так чтобы в каждой группе в каждый день никаких 2 человека не играли в предыдущие дни.
Не теряя общности, обозначим города латинскими буквами A, B и C , дни пронумеруем числами от 1 до 4, участников турнира также пронумеруем числами от 1 до 9.

Ответ:  одно из возможных расписаний
	A	   B	        C
1	1, 2, 3	   4, 5, 6	7, 8, 9
2	1, 4, 7	   2, 5, 8	3, 6, 9
3	1, 5, 9	   2, 6, 7	3, 4, 8
4	1, 6, 8	   2, 4, 9	3, 5, 7
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments