Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 11 класса (13-я олимпиада)

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1161119.html .

1. Рассмотрим значения функции T(x):


  • при x, принадлежащих промежутку (-∞; 2], T(x)=0;

  • при x, принадлежащих промежутку (2; 3], T(x)=2;

  • при x, принадлежащих промежутку (3; 5], T(x)=5;

  • при x, принадлежащих промежутку (5; 7], T(x)=10;

  • при x, принадлежащих промежутку (7; 11], T(x)=17;

  • при x, принадлежащих промежутку (11; 13], T(x)=28;

  • при x, принадлежащих промежутку (13; 17], T(x)=41;

и т.д.

Найдём корни уравнения y=2x2/5, для y из множества {0, 2, 5, 10, 17,

28, 41}.


  • 2x2/5=0, x=0.

  • 2x2/5=2, x=±√5, x≈±2.23.

  • 2x2/5=5, x=±(5√2)/2, x≈±3.53.

  • 2x2/5=10, x=±5.

  • 2x2/5=17, x=±(√170)/2, x≈±6.51.

  • 2x2/5=28, x=±(√70) , x≈±8.36.

  • 2x2/5=41, x=± (√410)/2, x≈±10.12.

Подходящих отрицательных корней нет, и не может быть, так как функция T(x) для

x<0 равна нулю. А функция y при отрицательных x принимает значения строго большие нуля.

Для положительных x можно заметить, что функция y растёт быстрее, чем функция

T(x). Значит, при x>17 других корней не будет. Значит, всего существует 3 корня: x=0, x=√5, x=(5√2)/2.

           Ответ: 0, √5, (5√2)/2.

2. Сначала заметим, что никакие две вершины куба 6х6х6 не могут входить в состав одной части. Действительно, они соединены либо ребром длины 6, либо диагональю в грани, длина которой 6√2, либо диагональю куба, длина которой 6√3. Ни один из этих отрезков невозможно поместить внутрь меньшего куба. Значит, число частей не меньше 8.

Несложно подобрать пример разрезания, когда их ровно 8.

Ответ: 8.

3. Разложение левой части уравнения на линейные множители позволяет убедиться, что произведение трёх корней равно −2013, их сумма − −А, а В – сумма их попарных произведений (это теорема Виета для кубического уравнения). Так как порядок корней не играет роли, то занумеруем их по возрастанию абсолютной величины.

Начнём с разложения 2013 на множители: 2013=1х1х2013=1х3х671=1х11х183=1х33х61=

=3х11х61. Так как произведение трёх корней равно −2013, то в каждом из этих разложений либо один отрицательный множитель, либо все три. Из-за повтора корней случаю 2013=1х1х2013 соответствуют только три принципиально различных варианта: −2013=1х1х(−2013) , −2013=(−1)х1х2013 и −2013=(−1)х(−1)х(−2013), а остальным – по четыре, т.е. всего 19. Легко убедиться, что каждому варианту отвечает своя пара (А;В).

Ответ: 19.

4. Есть два принципиально различных случая расположения этих окружностей: их центры могут либо лежать на одной прямой, либо образовывать египетский треугольник. В первом случае всё просто: только две области, ограничены дугами всех трёх окружностей. Чтобы найти их суммарную площадь, нужно из площади 9π круга радиуса 3 вычесть площади π и 4π двух других кругов. Так как эти две области симметричны друг другу, то площадь каждой из них равна половине разности, т.е. 2π.

Во втором случае вариантов больше. Начнём с области, ограниченной внутренними дугами (лежащими внутри египетского треугольника). Так как точки касания окружностей лежат на сторонах египетского треугольника, то из его площади 6 нужно вычесть площади трёх секторов.

Площадь сектора меньшей окружности (сектор с дугой в 90 градусов) S1=π/4 .

Площадь сектора средней окружности (сектор с дугой в arcsin(4/5)) S2=4 arcsin(4/5).

Площадь сектора большей окружности (сектор с дугой в arcsin(3/5)) S3=9 arcsin(3/5).

Этому варианту отвечает S=6-(s1+s2+s3) = 6−π/4 −4 arcsin(4/5)−9 arcsin(3/5) .

Ещё 7 вариантов получаются, если к последней величине прибавить либо площадь π , 4π или 9π любого круга, либо площади любых двух из этих кругов, либо всех трёх.

Ответ: 9 вариантов (см. решение).

5. Прежде всего, x≥1 . Заметим, что в левой части уравнения стоит возрастающая функция, а в правой – убывающая. Значит, корень может быть только один. Его легко подобрать.

Ответ: х=3 .

6. Предполагается, что каждый день в каждом городе встречаются 4 шахматиста, играющие друг с другом.

4 шахматиста, встретившиеся в один день, должны в остальные дни играть в разных городах, т.к. каждый с каждым играет 1 раз.

Выдадим шахматистам, игравшим в первые два дня в указанных в таблице городах, значки А…Р.

              2 день

1 день

Город 1

Город 2

Город 3

Город 4

Город 1

А

Б

В

Г

Город 2

Д

Е

Ж

З

Город 3

И

К

Л

М

Город 4

Н

О

П

Р

В последующие три дня шахматисты А, Г, Н, Р должны сыграть с Е, Ж. К, Л. Т.к. последних четверо, а дней остается три, в один день А (или Г) играет либо с Е и Л, либо с Ж и К. Поскольку К и Ж не могут встретиться в тот день, когда играют по отдельности (например, с А), значит, в один день играют группы А, Е, Л, Р и Г, Ж, К, Н (или А, Ж, К, Р и Г, Е, Л, Н, но этот вариант можно получить из предыдущего перестановкой 2-го и 3-го столбцов таблицы, поэтому отдельно его рассматривать не будем). Для определенности, пусть это 3-й день турнира.

В 4-й и 5-й день А играет с Ж, М, О и З, К, П. Н в те же дни играет с Б, З, Л и В, Е, М. Р в те же дни играет с В, Д, К и Б, Ж, И. Г в те же дни играет с Е, И, П и Д, Л, О.

Составим таблицу, две оставшиеся ячейки легко заполнить.

Ответ:

Город 1

Город 2

Город 3

Город 4

1-й день

А, Б, В, Г

Д, Е, Ж, З

И, К, Л, М

Н, О, П, Р

2-й день

А, Д, И, Н

Б, Е, К, О

В, Ж, Л, П

Г, З, М, Р

3-й день

А, Е, Л, Р

Г, Ж, К, Н

Б, Д, М, П

В, З, И, О

4-й день

А, Ж, М, О

Б, З, Л, Н

В, Д, К, Р

Г, Е, И, П

5-й день

А, З, К, П

В, Е, М, Н

Б, Ж, И, Р

Г, Д, Л, О


Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments