1A. Назовём год лихим, если в записи его номера есть одинаковые цифры. Например, все годы с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры?
Решение. Заметим, что все годы с 1099 по 1202 — лихие (1099 содержит две девятки, числа с 1100 по 1199 — две единицы, 1200 — два нуля, 1201 — две единицы, 1202 — две двойки). При этом 1098 и 1203 — не лихие. Таким образом, имеем 104 подряд идущих лихих года.
Заметим, что в других местах лихие годы идут группами менее чем по 100 (например, потому, что 90, 190, 290, 390, 490, 590, 690, 790, 890, 987, 1087, 1230, 1320, 1420, 1520, 1620, 1720, 1820, 1920, 1980 — не лихие). Итак, 104 — максимальное количество подряд идущих лихих лет.
Критерии. Оценка складывается из двух величин: ответ с указанием промежутка (4 балла) и доказательство того, что более длинного промежутка нет (3 балла).
I Ответ с указанием промежутка: макс. 4 балла.
Объяснять, почему в этом промежутке все годы лихие, не надо.
Если промежуток указан верно, но количество чисел в нём подсчитано неверно (напр. написано, что их 103), то 2 балла (но если количество чисел вообще не указано, то 3 балла).
Если промежуток указан «близко к верному» (потеряно одно или несколько «крайних чисел» 1099, 1200, 1201, 1202): 2 балла, если потеряно одно из чисел, и 1 балл, если более одного (верно ли посчитано количество чисел, неважно).
Указан только ответ (104) — 2 балла; указан ответ от 99 до 103 — 1 балл.
II Доказательство максимальности — макс. 3 балла (это актуально и для неточно указанного промежутка).
Если доказательства нет, но написана фраза, из которой ясно, что участник представляет, как такое доказательство осуществить (например, «среди остальных лет можно найти годы с неповторяющимися цифрами, промежутки между которыми будут меньше 100» или «ясно, что в каждом полтиннике есть нелихой год») — за это даётся 1—2 балла.
Фраза типа «в каждом из остальных столетий найдётся нелихой год» доказательством не является (т. к. дырки между такими годами могут оказаться длиннее 104) и баллов не даёт.
(7[8,9])
1B. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны числа от 1 до 9 [от 1 до 12 , от 1 до 33]. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа [4 числа, 10 чисел]. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открывают. Если на одной из карточек Марка хотя бы два [два, три] из четырёх [четырёх, десяти] отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть?
Решение.
Для 7 класса. Достаточно взять две карточки и на одной отметить 1,2,3,4, на второй — 5,6,7,8. Если предположить, что карточка Марка совпадает с каждой из карточек Билла не более чем по одному числу, то на карточке Марка отмечены не больше одного из чисел от 1 до 4, не больше одного из чисел от 5 до 8 и ещё, возможно, число 9, то есть максимум три числа.
Одной карточки недостаточно: какие бы четыре числа Билл ни отметил, у Марка могут оказаться четыре числа, ни одно из которых не отмечено Биллом.
Для 8 класса. Достаточно взять три карточки и на одной отметить 1,2,3,4, на второй — 5,6,7,8, на третьей — 9,10,11,12. Если предположить, что карточка Марка совпадает с каждой из карточек Билла не более чем по одному числу, то на карточке Марка отмечены не больше одного из чисел от 1 до 4, не больше одного из чисел от 5 до 8 и не больше одного из чисел от 9 до 12, то есть максимум три числа.
Двух карточек недостаточно: на них Билл может отметить максимум 8 разных чисел, но тогда на карточке Марка могут оказаться 4 числа, ни одно из которых не отмечено Биллом.
Для 9 класса. Достаточно взять три карточки и на одной отметить числа от 1 до 10, на второй — от 11 до 20, на третьей — от 21 до 30. Если предположить, что карточка Марка совпадает с каждой из карточек Билла не более чем по двум числам, то на карточке Марка отмечены не больше двух из чисел от 1 до 10, не больше двух из чисел от 11 до 20 и не больше двух из чисел от 21 до 30, а также не больше трёх из чисел 31, 32, 33. Итого максимум 2+2+2+3=9 чисел, что меньше 10.
Двух карточек недостаточно: на них Билл может отметить максимум 20 разных чисел, но тогда на карточке Марка могут оказаться 10 чисел, ни одно из которых не отмечено Биллом.
Критерии. Оценка за задачу складывается из трёх частей:
(1) ответ («достаточно взять три карточки и отметить на них то-то и то-то») — 1 балл (обратите внимание, что выбор отмеченных чисел может быть другим, или просто может быть указано, что все числа различны); ответ, в котором указано только количество карточек, но не описан выбор чисел, не засчитывается;
(2) доказательство того, что для таких карточек найдётся подходящая карточка — максимум 4 балла;
(3) доказательство того, что меньшего количества карточек не хватит — 2 балла.
За систематическое отсутствие слов «не более чем» можно снимать 1–2 балла.
(10-11)
1C. Назовём год лихим, если в записи его номера есть одинаковые цифры. Например, все годы с 1988 по 2012 были лихими. Докажите, что в каждом столетии, начиная с двадцать первого, хотя бы 44 лихих года.
Решение. Будем для удобства считать, что столетие начинается с года ...xy00 и кончается годом ...xy99 (возможно, вместо многоточия ничего нет). На самом деле более правильно считать, что столетие начинается с года ...xy01 и кончается годом ...uv00; но поскольку годы ...xy00 и ...uv00 оба лихие, это не влияет на количество лихих лет в столетии.
Заметим, что при x=y все сто лет лихие. Поэтому будем считать, что x≠y.В таком случае к лихим годам относятся следующие:
...xyxx, ...xyyy, ...xyxy, ...xyyx;
...xyax, где a отлично от x и y (8 штук);
...xyxa, где a отлично от x и y (8 штук);
...xyya, где a отлично от x и y (8 штук);
...xyay, где a отлично от x и y (8 штук);
...xyaa, где a отлично от x и y (8 штук).
Легко убедиться, что все перечисленные годы различны, и их количество равно 44.
Графически лихие годы (на примере XXI столетия) показаны в таблице, аналогично выглядят таблицы и для других столетий при x≠y.
Критерии.
Если участник нашёл (хотя бы в одном столетии) пять серий лихих лет — 2 балла, а если ещё и правильно сосчитал эти годы — не менее 4 баллов. Если в решении фигурируют хотя бы три из этих пяти серий — не менее 1 балла.
Простое выписывание всех лихих годов какого-нибудь столетия по возрастанию (или в беспорядке) баллов не приносит.
Мелкие недочёты.
Рассмотрены только четырёхзначные годы — не снижаем.
С какого года начинается столетие (xy00 или xy01), неважно.
Не указано, что при x=y всё очевидно (а просто всё написано так, как будто x и y различны) — минус 1 балл.
Для удобства обозначений рассмотрено какое-то одно столетие (но годы упорядочены по сериям, а не по возрастанию), и написано, что в других столетиях аналогично — минус 1 балл (а вот если объяснено, что и почему аналогично, то можно не снижать).
Фразу «легко убедиться, что все перечисленные годы различны» можно не писать.
Пример решения на 6 баллов (потому что для одного столетия). Если разряды сотен и тысяч совпадают, то всё ясно. Пусть они различны. Рассмотрим на примере XXI столетия. В нём лихие годы: 2000, 2010, 2020, …, 2090; 2000, 2001, 2002, …, 2009; 2000, 2011, 2022, …, 2099; 2020, 2021, …, 2029; 2002, 2012, 2022, …, 2092. Всего их 44, поскольку 2000, 2002, 2020, 2022 совпадают, а остальные восемь во всех сериях различны. То же будет и в других столетиях.
Задача 2
Journal information