Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Category:

Решения и критерии оценивания по задачам №2

(5)
2A. На круглом торте стоит 6 свечей. Тремя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько свечей могло стоять в каждой из частей, которые образовались после первого разреза? Объясните, почему никакие другие варианты невозможны.

Решение. Возможны два варианта: а) в обеих частях по три свечи (3+3); б) в одной части две свечи, в другой — четыре (2+4). Примеры см. на рисунках, первый разрез показан жирной линией.
Остальные варианты (1+5 или 0+6) невозможны. Действительно, пусть после первого разреза в какой-то части осталось хотя бы пять свечей. Тогда вторым разрезом она будет разрезана максимум на две части, поэтому в какой-то из них будет хотя бы три свечи. Третьим разрезом нельзя сделать так, чтобы каждая из этих свечей оказалась в отдельном куске.

Критерии. Верный ответ (то есть оба варианта: 3+3 и 2+4) стоит 1 балл; при верном ответе пример к каждому из вариантов стоит ещё по 1 баллу. Если в примерах не показано, какой разрез сделан первым — минус балл.
Доказательство того, что других вариантов нет, стоит 4 балла. При этом утверждение о том, что двумя разрезами нельзя разделить кусок на пять частей, считаем очевидным. Поэтому в качестве доказательства достаточно фразы «Если в одной из частей осталось пять свечей, то двумя оставшимися разрезами эти пять свечей нельзя распределить по разным частям».

(6)
2B. На круглом торте стоит 7 свечей. Тремя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько частей было после второго разреза и сколько свечей стояло в каждой из них?

Решение. Очевидно, количество частей после второго разреза не превосходит четырёх (первый разрез даёт две части, второй делит каждую из них не более чем на два куска).
Заметим, что после второго разреза ни в одном из кусков не могло оказаться три и более свечей, иначе третьего разреза не хватило бы, чтобы все эти свечи оказались в разных частях. Итак, в каждом куске не больше двух свечей.
Тогда должно быть хотя бы четыре куска (иначе в сумме свечей не больше шести), а больше четырёх быть не может. Для четырёх кусков единственный вариант получить 7 свечей — это 2+2+2+1.

Критерии.
Только ответ («четыре части, 2+2+2+1») — 1 балл. Пример не требуется и на баллы не влияет.
«Частей не больше четырёх, потому что было всего 2 разреза» — +1 балл.
«В каждой части не больше двух свечей» — +1 балл.
«И поэтому частей не меньше четырёх» — +ещё 1 балл к предыдущему.
Все эти баллы могут суммироваться (но если присутствуют все четыре компонента, то это обычно полное решение).

(7)
2C. На круглом торте стоит 10 свечей. Четырьмя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько свечей могло стоять в каждой из частей, которые образовались после первого разреза? Объясните, почему никакие другие варианты невозможны.

Решение. Заметим, что тремя разрезами нельзя разделить никакой кусок более чем на 7 частей. Действительно, первый разрез делит на две части, второй — максимум на 4. Третий разрез не может одновременно пройти через все четыре куска, образованных после второго разреза, поэтому проходит максимум через три из них; в результате число кусков увеличивается максимум на три, и всего их не больше, чем 4+3=7.
Значит, после первого разреза число свечей в каждой части не превышает 7 (иначе вторым, третьим и четвёртым разрезом не удастся разделить свечи по отдельным кускам). Поэтому возможны только варианты 5+5, 6+4 и 7+3.
Все эти варианты действительно реализуются (примеры см. на рисунках, первый разрез выделен жирной линией).

Критерии. Ответ с примерами стоит 3 балла. Если в ответе указаны два из трёх верных вариантов и к ним приведены рисунки, то за это 1 балл.
Доказательство стоит 4 балла. Если утверждение о том, что тремя разрезами торт нельзя разрезать более чем на 7 частей, никак не обосновано, то за это 2 балла снимается (обоснование «Двумя разрезами кусок режется на 4 части, а после третьего их максимум 7» считаем достаточным).

(8-9)
2D. Дан прямоугольник ABCD. На луче DC отложен отрезок DK, равный BD. Точка M — середина отрезка BK. Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.

Решение. Поскольку BD=DK, то медиана DM треугольника BDK является также высотой и биссектрисой, то естьBMD =90° и BDM=BDC/2.
Теперь рассмотрим четырехугольник ABMD. В нем BAD=BMD=90°, то есть он вписанный. Следовательно, BAM=BDM=BDC/2=BAC/2, то есть AM — биссектриса.
Другое решение. Вновь заметим (как в первом решении), что DM — биссектриса BDC. Пусть E и F — середины AD и BC. Тогда точка M лежит на EF (например, потому, что MC=BK/2=BM как медиана к гипотенузе, а значит, перпендикуляр из E проходит через середину BC). При симметрии относительно прямой EF BDC переходит в BAC, а DM — в AM. Поэтому AM — биссектриса ∠BAC.
Критерии. Доказано, что DM — биссектриса BDC — 1 балл.
Ссылка на симметрию без чёткой формулировки (т. е. после доказательства того, что DM — биссектриса ∠BDC, написано «по симметрии, AM — биссектриса ∠BAC) — 5 баллов. Не доказано, что M лежит на EF — 6 баллов (в качестве доказательства можно также сослаться на координаты).

(10)
2E. Азимутом называется угол от 0 до 360°, отсчитанный по часовой стрелке от направления на север до направления на нужный ориентир. Алекс видит телебашню под азимутом 60°, водонапорную башню под азимутом 90°, а колокольню под азимутом 120°. Для Бориса те же азимуты соответственно равны 270°, 240° и Х. Какие значения может принимать Х?

Решение. Начнём с того, что азимут 90° — это направление с востока на запад, а 270° — с запада на восток. Отсюда следует, что Борис находится восточнее Алекса и (с учётом других данных из условия) севернее его. Следовательно, азимут от Бориса к Алексу не превышает 270°. Х — ещё меньше, но в случае расположения Бориса и Алекса почти на одной параллели может быть сколь угодно близок к 270°.
Так как колокольня находится южнее (и восточнее) Алекса, то она южнее Бориса. Поэтому Х не может быть меньше 120° (азимута на колокольню от Алекса). С увеличением расстояния до колокольни Х может стать сколь угодно близким к 120°.
Ответ: от 120° до 270° (исключая крайние значения).
Критерии. По общим правилам. Верное решение может также иметь вид рисунка с небольшими пояснениями. Если ошибка ТОЛЬКО в учёте крайних значений, то 6 баллов.

(11)
2F. Для исследования подводного мира соорудили прямолинейную штангу, уходящую под углом 45° к поверхности воды на глубину 100 метров. Водолаз связан со штангой гибким тросом, позволяющим ему удаляться от любой точки штанги на расстояние не более 10 метров. Считая размеры водолаза нулевыми (точечными), найдите объём доступной ему части подводного пространства. Дайте точный ответ и округлите его до ближайшего целого значения в кубических метрах.

Решение. Начнём с того, что на глубину 100 метров под углом 45° заходит штанга длиной H=1002 метров. Объём цилиндра такой высоты с радиусом основания 10 метров: πr2H=10000π√2 кубическим метрам. Водолазу доступна любая точка внутри этого цилиндра, за исключением его надводной части. Но эта надводная часть компенсируется равной подводной областью, примыкающей к цилиндру чуть выше его. Наконец, от нижнего конца штанги водолазу доступна лежащая вне цилиндра область в форме полушара радиусом 10 метров, объём которой равен 2000π∕3 . Таким образом, объём доступной водолазу части подводного пространства равен 1000π(10√2+23) 46523,2 кубического метра. Округление до ближайшего целого значения в кубических метрах – 46523.

Критерии. Если ошибка только в округлении (в том числе слишком грубые приближения π и √2 ) или отсутствует округленное значение, то 6 баллов.
Если допущена одна ошибка в вычислениях или формулах (напр. неверная формула объёма шара), то 5 баллов. Если ошибок в вычислениях/формулах более одной или решение неверно в принципе (например, потерян 2, или забыт полушар), то не выше 2 баллов.
Важное замечание. В условии точно указаны размеры подводной части штанги, но не утверждается, что она обрывается у поверхности воды. Напротив, контекст явно предполагает её продолжение над водой, что нужно использовать в решении. Но если участник ввёл это дополнительное ограничение и справился с (более трудной!) задачей в искажённой формулировке, то он заслуживает оценки в 7 баллов. В таком решении появляется часть цилиндра, объём которой вычисляется через интегралы, а также 1/8 шара вокруг верхнего конца штанги.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments