Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения и критерии оценивания по задачам №3

(5-6)
3A. Даны три нечётных положительных числа p, q, r. Про них известно, что p>2q, q>2r, r>p−2q. Докажите, что p+q+r≥25.

Решение. Заметим, что если p>2q, то p−2q≥1. Поскольку r>p−2q, то r>1. Значит, r — нечётное число, большее 1, то есть r≥3. Тогда q>2r≥6, то есть q≥7; p>2q≥14, то есть p≥15. Итого p+q+r≥15+7+3=25.

Критерии. Упомянуто, что r>1 (или r≥3) — 1 балл.
Приведен только пример, когда сумма равна 25 (т. е. в решении так или иначе встречаются значения 3, 7 и 15) — 1 балл (может суммироваться с предыдущими). В верном решении, естественно, этот пример не обязателен.

(7 [8])
3B. У фокусника есть два комплекта по 7 [8] карточек. На розовых карточках записаны целые числа от 0 до 6 [от 0 до 7]. На первой голубой карточке написано 1, а число на каждой следующей голубой карточке в 7 раз [в 8 раз] больше предыдущего. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с голубой). Затем зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех 7 [8] произведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно получиться простое число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого объединить в пары (или докажите, что у него ничего не получится).

Ответ: фокус не получится.
Доказательство.
Рассмотрим остатки от деления на 6[7]. Так как 7 [8] даёт при делении на 6[7] остаток 1, то и любая степень 7 [8] тоже даст при делении на 6[7] остаток 1. Значит, вклад любой голубой карточки в остаток от деления суммы на 6[7] соответствует 1. Теперь удобно переставить слагаемые так, чтобы числа на розовых карточках шли в порядке возрастания. Получим сумму целых чисел от 0 до 6 [от 0 до 7]. Она делится на 3[7]. Значит, как бы фокусник ни комбинировал карточки в пары, сумма всех 7 [8] произведений всегда будет делиться на 3[7]. Следовательно, она никогда не сможет оказаться простым числом.

Критерии. По общим правилам.

(9[10,11])
3C. Назовём основание системы счисления комфортным, если существует простое число, запись которого в этой системе счисления ровно по одному разу содержит каждую из её цифр. Например, 3 — комфортное основание, так как троичное число 102 — простое. Найдите все комфортные основания, не превосходящие 10 [все комфортные основания, не превосходящие 12; все комфортные основания].

Решение.
Пусть K — искомое основание. Тогда в этой системе счисления действуют признаки делимости на K1 и его делители, частным случаем которых являются признаки делимости на 9 и 3 в десятичной системе счисления. Чтобы применить их, нужно заменить число суммой его цифр.
Для искомого простого числа в качестве суммы цифр получим сумму целых чисел от 0 до K1. Она равна (K1)K2 . Если K чётно, то сумма цифр делится на K1. Если K нечётно, то сумма цифр делится на (K1)2 . Здесь важно не упустить особые случаи: если K=2, то K1=1 , а если K=3, то (K1)2=1 . Но при больших K число не сможет оказаться простым, так как будет делиться либо на K1, либо на (K1)2 .

Ответ: комфортными основаниями являются только 2 и 3.

Критерии. По общим правилам.
В 9–10 классах засчитываются также решения, в которых последовательно перебираются все основания.
Tags: олимпиада
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments