3A. Даны три нечётных положительных числа p, q, r. Про них известно, что p>2q, q>2r, r>p−2q. Докажите, что p+q+r≥25.
Решение. Заметим, что если p>2q, то p−2q≥1. Поскольку r>p−2q, то r>1. Значит, r — нечётное число, большее 1, то есть r≥3. Тогда q>2r≥6, то есть q≥7; p>2q≥14, то есть p≥15. Итого p+q+r≥15+7+3=25.
Критерии. Упомянуто, что r>1 (или r≥3) — 1 балл.
Приведен только пример, когда сумма равна 25 (т. е. в решении так или иначе встречаются значения 3, 7 и 15) — 1 балл (может суммироваться с предыдущими). В верном решении, естественно, этот пример не обязателен.
(7 [8])
3B. У фокусника есть два комплекта по 7 [8] карточек. На розовых карточках записаны целые числа от 0 до 6 [от 0 до 7]. На первой голубой карточке написано 1, а число на каждой следующей голубой карточке в 7 раз [в 8 раз] больше предыдущего. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с голубой). Затем зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех 7 [8] произведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно получиться простое число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого объединить в пары (или докажите, что у него ничего не получится).
Ответ: фокус не получится.
Доказательство.
Рассмотрим остатки от деления на 6[7]. Так как 7 [8] даёт при делении на 6[7] остаток 1, то и любая степень 7 [8] тоже даст при делении на 6[7] остаток 1. Значит, вклад любой голубой карточки в остаток от деления суммы на 6[7] соответствует 1. Теперь удобно переставить слагаемые так, чтобы числа на розовых карточках шли в порядке возрастания. Получим сумму целых чисел от 0 до 6 [от 0 до 7]. Она делится на 3[7]. Значит, как бы фокусник ни комбинировал карточки в пары, сумма всех 7 [8] произведений всегда будет делиться на 3[7]. Следовательно, она никогда не сможет оказаться простым числом.
Критерии. По общим правилам.
(9[10,11])
3C. Назовём основание системы счисления комфортным, если существует простое число, запись которого в этой системе счисления ровно по одному разу содержит каждую из её цифр. Например, 3 — комфортное основание, так как троичное число 102 — простое. Найдите все комфортные основания, не превосходящие 10 [все комфортные основания, не превосходящие 12; все комфортные основания].
Решение.
Пусть K — искомое основание. Тогда в этой системе счисления действуют признаки делимости на K−1 и его делители, частным случаем которых являются признаки делимости на 9 и 3 в десятичной системе счисления. Чтобы применить их, нужно заменить число суммой его цифр.
Для искомого простого числа в качестве суммы цифр получим сумму целых чисел от 0 до K−1. Она равна (K−1)K∕2 . Если K чётно, то сумма цифр делится на K−1. Если K нечётно, то сумма цифр делится на (K−1)∕2 . Здесь важно не упустить особые случаи: если K=2, то K−1=1 , а если K=3, то (K−1)∕2=1 . Но при больших K число не сможет оказаться простым, так как будет делиться либо на K−1, либо на (K−1)∕2 .
Ответ: комфортными основаниями являются только 2 и 3.
Критерии. По общим правилам.
В 9–10 классах засчитываются также решения, в которых последовательно перебираются все основания.
Journal information