4A. У Кости есть шесть кубиков, каждая грань каждого кубика раскрашена в один из шести цветов. Все кубики раскрашены одинаково. Костя составил из кубиков столбик и смотрит на него с четырёх сторон. Может ли он сделать это таким образом, чтобы с каждой стороны все шесть граней были разного цвета?
Решение. Будем обозначать цвета числами от 1 до 6. Пусть у каждого кубика на двух противоположных гранях находятся цвета 5 и 6, а на остальных — 1, 2, 3 и 4 (именно в этом порядке по кругу).Тогда кубик можно ставить так, чтобы на четырёх видимых гранях (по кругу) оказывались цвета: а) 1234; б) 1536; в) 2546 (и в обратном порядке).
Пример такого расположения показан на рисунке.
Критерии. Показан верный пример, но не объяснено, как именно покрашен кубик — снимается 1 балл. Если раскраска кубика описана, то писать, почему пример верный, не обязательно.
Только ответ («может») — 0.
(8)
4B. На плоскости нарисовали 5 красных точек. Все середины отрезков между ними отметили синим цветом. Расположите красные точки так, чтобы синих точек было минимально возможное количество. (Точка может оказаться красной и синей одновременно.)
Решение. Пусть точки расположены на прямой на равных расстояниях друг от друга. Например, пусть это точки координатной оси с координатами 1, 2, 3, 4 и 5. Тогда середина каждого отрезка с концами в этих точках — одна из точек 1,5, 2, 2,5, 3, 3,5, 4, 4,5, то есть имеем 7 синих точек.
Меньшего количества синих точек быть не может. В самом деле, введём на плоскости систему координат так, чтобы никакие две красные точки не оказались на одной вертикальной прямой. Пусть эти точки (слева направо) — A, B, C, D, E.
Заметим, что если один из концов отрезка сдвинуть вправо, то и середина отрезка сдвинется вправо (а если двигать концы отрезков по вертикали, то горизонтальная координата середины не изменится). Поэтому середина отрезка AC правее, чем середина AB; середина AD ещё правее; далее вправо идут середина AD, середина AE, середина BE, середина CE и середина DE. Таким образом, все эти семь середин различны (поскольку каждая из них правее предыдущей).
Критерии. Только ответ — 1 балл. Ответ с примером — 2 балла.
Оценка с верным ответом, но без упоминания примера — снимаем 2 балла.
Если в доказательстве не упоминается необходимость выбора оси (написано «упорядочим точки слева направо» и не написано о случае, когда какие-то из точек на одной вертикальной прямой) — минус 1 балл.
Если без обоснования написано, что при упорядочении сер(A,B) левее сер(A,C) и т. д., то баллы не снимаем. А вот если просто написано, что «при таком упорядочении все эти середины различны», то минус балл.
Вышеупомянутые штрафы суммируются.
(9)
4C. На плоскости нарисовали 5 красных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все середины отрезков между ними отметили синим цветом. Расположите красные точки так, чтобы синих точек было минимально возможное количество.
Решение.
Прежде всего, синих точек не может быть больше 5∙4∕2=10 . Это число может уменьшиться за счёт совпадения каких-либо двух середин. Легко (см. рисунок) привести пример такого совпадения, когда синих точек 9. Покажем, что дальнейшее уменьшение невозможно.Так как никакие три красные точки не лежат на одной прямой, то совпадение каких-либо двух середин означает, что четыре красные точки (лежащие на концах выбранной пары отрезков) образуют параллелограмм. Так как оставшаяся точка не лежит ни на одной из сторон этого параллелограмма, то ни один из лучей, направленных из оставшейся точки в вершины параллелограмма, не параллелен ни одной из сторон параллелограмма.
Допустим, что удалось построить второй аналогичный параллелограмм. Тогда его образовали бы оставшаяся точка и какие-то три из ранее использованных. Так как у параллелограмма только две диагонали, то все три отрезка, попарно соединяющие три ранее использованных точки, не могут одновременно быть диагоналями.
Следовательно, у двух параллелограммов есть общая сторона, а противоположные ей стороны обоих параллелограммов параллельны между собой. Но это противоречит ранее сделанному выводу.
Итак, минимально возможное количество синих точек — 9.
Критерии. По общим правилам.
Ответ с примером расположения — 1 балл (просто ответ «9» — 0). Ещё один балл можно давать за упоминание того, что если две середины совпали, то четыре вершины образуют параллелограмм.
Отсутствие примера (даже в текстовом описании) при верной оценке — минус балл.
(10-11)
4D. У Кости есть n одинаковых кубиков. У каждого кубика на двух противоположных гранях написаны числа 5 и 6, а на остальных — 1, 2, 3 и 4 (именно в этом порядке по кругу).Он склеил из этих кубиков столбик — параллелепипед 1×1×n — и покрыл лаком все шесть граней этого столбика. После этого он расклеил кубики и обнаружил, что сумма чисел на покрытых лаком гранях меньше, чем на остальных. При каком наименьшем n такое могло произойти?
Решение. Заметим, что на каждом из двух крайних кубиков сумма цифр, покрытых лаком, не меньше 15 (1+2+3+4+5), а на каждом из остальных — не меньше 10 (1+2+3+4). Общая же сумма цифр на каждом кубике равна 21.
Обозначим число кубиков через n, тогда минимальная сумма чисел на лакированных гранях равна
15·2+10·(n−2).
По условию, эта величина меньше половины общей суммы, то есть меньше 21n/2.
Итак, 15·2+10·(n−2)<21n/2; преобразуем:
10n+10<10,5n, то есть 10<0,5n, или n>20.
Значит, минимально допустимое количество кубиков равно 21. Легко убедиться, что в этом случае описанная ситуация возможна (если на крайних кубиках сумма лакированных чисел по 15, а на остальных — по 10).
Критерии.
Продвижения:
Встречаются соображения о том, что у некоторых (или у всех) кубиков должны быть покрыты лаком грани 1, 2, 3 и 4, а иначе ничего не получится — не менее 1 балла.
Верно составлено неравенство — 2 балла.
В дополнение к этому 1 балл даётся за ответ 21 с примером. (Только за ответ 21 ничего не даётся).
Нечёткости:
За решение в стиле «В худшем случае на каждом торцевом кубике покрыты лаком 10 очков, а на каждом из остальных 15, тогда для 20 кубиков всё плохо (приведён пример), а для 21 кубика всё в порядке (приведён пример)» — 5 баллов.
За решение в стиле «В худшем случае на каждом торцевом кубике покрыты лаком 10 очков, а на каждом из остальных 15, а среднее 10,5, тогда каждый торцевой кубик должен компенсироваться девятью внутренними, тогда будет ровно половина; а надо, чтобы непокрытых лаком было больше, поэтому добавим ещё один внутренний» можно ставить полный балл.
Если всё правильно, но в ответе указано 20, а не 21 (и, возможно, участник решает нестрогое неравенство), то один балл снимается.
В полном решении (типа приведённых выше) можно не упоминать, что пример на 21 существует, поскольку и так ясно, как он строится.
Journal information