Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения и критерии оценивания по задачам №5

(5-6)
5A. В одном доме провели перепись населения. Выяснилось, что в каждой квартире живет супружеская пара (мать и отец) и в каждой семье есть хотя бы один ребенок. У каждого мальчика в доме есть сестра, но всего мальчиков больше, чем девочек. Детей же в доме меньше, чем взрослых. Докажите, что в результаты переписи вкралась ошибка.

Решение. Во-первых, заметим, что в каждой семье есть хотя бы одна девочка (поскольку у любого мальчика есть сестра). Тогда девочек хотя бы столько же, сколько супружеских пар, а мальчиков больше, чем супружеских пар. Складывая все вместе, получаем, что детей больше, чем взрослых.

Критерии. По общим правилам. Замены типа «больше» на «не меньше» — 5 баллов.

(7[8,9])
5B. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 77 [до 88, до 99]. Какова минимально возможная сумма модулей разностей между соседними числами?

Ответ. 152 (для 7 класса), 174 (для 8 класса), 196 (для 9 класса)
Решение (для 77 чисел). Заметим, что где-то в круге стоят числа 1 и 77. Рассмотрим «путь» от 1 до 77 по часовой стрелке: 1, x1, x2, …, xk, 77. Заметим, что при прождении по этому пути число изменяется на 76, поэтому сумма модулей разностей не меньше 76 (формально: |77-xk| + |xk-xk-1| + … + |x2-x1| + |x1-1| >= |77-1| = 76).
Теперь рассмотрим путь между числами 1 и 77 «с другой стороны» (против часовой стрелки); сумма модулей разностей, стоящих там, также не меньше 76. Поэтому общая сумма модулей разностей не меньше 152.
Результат 152 достигается (например, при расстановке чисел по порядку).

Критерии. Только ответ — 1 балл. Ответ с примером — 2 балла.
Оценка с верным ответом, но без упоминания примера — снимаем 2 балла (?)
Арифметическая ошибка (или ответ, допустим, 77·2 вместо 76·2) — минус балл. К формулировкам доказательства не придираемся (достаточно картинки с двумя стрелочками в разные стороны). Почему сумма разностей при переходе от 1 к 77 не меньше 76, объяснять не обязательно.

(10-11)
5C. СН — высота в треугольнике АВС, а О — центр его описанной окружности. Из точки С опустили перпендикуляр на АО, а его основание обозначили через Т. Наконец, через М обозначили точку пересечения НТ и ВС. Найдите отношение длин отрезков ВМ и СМ.

Решение.

  1. Докажем сначала, что CAO+ABC=90°. Заметим, что поскольку O — центр описанной окружности, то треугольники AOB, BOC, COA равнобедренные. Обозначим их углы при основании через x, y и z соответственно. Тогда получим: 2x+2y+2z=180° (общая сумма углов), а CAO+ABC=z+(x+y)=90°. Аналогично это доказывается и для случая, когда O лежит вне треугольника (или на его стороне).

  2. Итак, мы доказали, что угол CAO равен 90°-ABC. Заметим, что и угол BCH равен 90°-ABC, поэтому CAO=BCH (или, что то же самое, CAT=BCH).

  3. Теперь заметим, что четырехугольник CTHA — вписанный, поскольку AHC=ATC=90°. Значит, CAT=CHT (или, что то же самое, CAT=BCH).

  4. Объединяя всё вместе, получаем, что в треугольнике BCH равны углы BCH и CHM. Значит, CM=MH.

  5. Далее стандартная картина для прямоугольного ∆BCH: B=90°-BCH=90°-CHM=MHB, поэтому BM=MH.

  6. Из двух последних пунктов следует, что BM=CM.

Ответ: эти длины равны.


Критерии. Доказано, что CTHA — вписанный четырехугольник — 2 балла. Решение опирается на картинку (т. е. использует расположение O только внутри или только снаружи ABC) — 5 баллов.
Факт из п.1 может быть использован без доказательства (как достаточно известный), за это баллы не снимаются.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments