5A. В одном доме провели перепись населения. Выяснилось, что в каждой квартире живет супружеская пара (мать и отец) и в каждой семье есть хотя бы один ребенок. У каждого мальчика в доме есть сестра, но всего мальчиков больше, чем девочек. Детей же в доме меньше, чем взрослых. Докажите, что в результаты переписи вкралась ошибка.
Решение. Во-первых, заметим, что в каждой семье есть хотя бы одна девочка (поскольку у любого мальчика есть сестра). Тогда девочек хотя бы столько же, сколько супружеских пар, а мальчиков больше, чем супружеских пар. Складывая все вместе, получаем, что детей больше, чем взрослых.
Критерии. По общим правилам. Замены типа «больше» на «не меньше» — 5 баллов.
(7[8,9])
5B. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 77 [до 88, до 99]. Какова минимально возможная сумма модулей разностей между соседними числами?
Ответ. 152 (для 7 класса), 174 (для 8 класса), 196 (для 9 класса)Решение (для 77 чисел). Заметим, что где-то в круге стоят числа 1 и 77. Рассмотрим «путь» от 1 до 77 по часовой стрелке: 1, x1, x2, …, xk, 77. Заметим, что при прождении по этому пути число изменяется на 76, поэтому сумма модулей разностей не меньше 76 (формально: |77-xk| + |xk-xk-1| + … + |x2-x1| + |x1-1| >= |77-1| = 76).
Теперь рассмотрим путь между числами 1 и 77 «с другой стороны» (против часовой стрелки); сумма модулей разностей, стоящих там, также не меньше 76. Поэтому общая сумма модулей разностей не меньше 152.
Результат 152 достигается (например, при расстановке чисел по порядку).
Критерии. Только ответ — 1 балл. Ответ с примером — 2 балла.
Оценка с верным ответом, но без упоминания примера — снимаем 2 балла (?)
Арифметическая ошибка (или ответ, допустим, 77·2 вместо 76·2) — минус балл. К формулировкам доказательства не придираемся (достаточно картинки с двумя стрелочками в разные стороны). Почему сумма разностей при переходе от 1 к 77 не меньше 76, объяснять не обязательно.
(10-11)
5C. СН — высота в треугольнике АВС, а О — центр его описанной окружности. Из точки С опустили перпендикуляр на АО, а его основание обозначили через Т. Наконец, через М обозначили точку пересечения НТ и ВС. Найдите отношение длин отрезков ВМ и СМ.
Решение.
- Докажем сначала, что ∠CAO+∠ABC=90°. Заметим, что поскольку O — центр описанной окружности, то треугольники AOB, BOC, COA равнобедренные. Обозначим их углы при основании через x, y и z соответственно. Тогда получим: 2x+2y+2z=180° (общая сумма углов), а CAO+ABC=z+(x+y)=90°. Аналогично это доказывается и для случая, когда O лежит вне треугольника (или на его стороне).
Итак, мы доказали, что угол CAO равен 90°-∠ABC. Заметим, что и угол BCH равен 90°-∠ABC, поэтому ∠CAO=∠BCH (или, что то же самое, ∠CAT=∠BCH).- Теперь заметим, что четырехугольник CTHA — вписанный, поскольку ∠AHC=∠ATC=90°. Значит, ∠CAT=∠CHT (или, что то же самое, ∠CAT=∠BCH).
- Объединяя всё вместе, получаем, что в треугольнике BCH равны углы BCH и CHM. Значит, CM=MH.
- Далее стандартная картина для прямоугольного ∆BCH: ∠B=90°-∠BCH=90°-∠CHM=∠MHB, поэтому BM=MH.
- Из двух последних пунктов следует, что BM=CM.
Критерии. Доказано, что CTHA — вписанный четырехугольник — 2 балла. Решение опирается на картинку (т. е. использует расположение O только внутри или только снаружи ABC) — 5 баллов.
Факт из п.1 может быть использован без доказательства (как достаточно известный), за это баллы не снимаются.
Journal information