Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения и критерии оценивания по задачам №6

(5)
6A. Фокусник хочет сложить колоду из 36 карт так, чтобы у любых двух подряд идущих карт совпадало либо достоинство, либо масть. При этом начать он хочет с пиковой дамы, а закончить бубновым тузом. Как это сделать?

Решение. Вариантов очень много, найти какой-нибудь из них не составляет труда. Один из вариантов показан на рисунке.

Критерии. Ответ с явной опиской, который легко интерпретируется как верный — 5-6 баллов.

(6-8)
6B. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены — разные. Смогут ли Том и Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?

Решение. Из 20 книг и 20 обложек можно составить 20·20=400 разных комплектов «книга+обложка». Стоимость любого комплекта не меньше, чем 7 евро 10 центов, так как самая дешёвая книга стоит не меньше 7 евро, а самая дешёвая обложка — не меньше 10 центов. По аналогичной причине стоимость любого комплекта не больше 11 евро.
Стоимость комплекта может принимать, таким образом, одно из 391 значения (от 7 евро 10 центов до 11 евро существует ровно 391 значение денежной суммы в европейской валюте). Поскольку 400 больше, чем 391, у каких-то двух комплектов «книга+обложка» стоимость окажется одинаковой.
Так не может случиться, что в этих двух комплектах книга будет одной и той же. (Если бы это случилось, стоимость обложки оказалась бы в двух комплектах одной и той же, иначе не получится одинаковой стоимость комплектов. Но если стоимость обложек в двух комплектах одинакова, то сами обложки одинаковы, то есть это один и тот же комплект.) Точно так же получается, что в этих комплектах обложка не может быть одной и той же.
Поскольку и книги, и обложки в этих двух комплектах разные, Том и Леопольд смогут эти комплекты приобрести.


Критерии.
Отсутствие объяснения, почему в двух разных наборах различаются и книги, и обложки, не штрафуется.
Рассмотрение частного случая оценивается в 0 баллов.

Пример решения, оцениваемого в 7 баллов:
«Может. Посчитаем количество комбинаций книжка+обложка. 20 книжек и к  каждой можно приложить одну из 20 обложек. Таких вариантов 20·20=400. А теперь посчитаем, сколько могут стоить эти комплекты. От 7 евро +10 центов до 10 евро+1 евро. Значит, различных цен комплектов 1100-710+1=391. Получается, что на какие-то комплекты цены будут совпадать.»


(9-10)
6C. Решите систему уравнений:

Решение:
Введем обозначения: Тогда система примет вид: .
Эта вспомогательная система имеет два решения: (1) и (2)
(их можно найти, например, по теореме Виета: это корни уравнения
t2−11t+30=0).
Вернувшись к исходным переменным, имеем:
(1) и (2) .
Решая полученные системы (можно снова воспользоваться теоремой Виета), получаем для каждой из них по 2 решения:
(1) и ;   (2) и .
Итак, исходная система имеет ровно 4 решения: (1;5), (5;1), (2;3), (3;2).

Критерии:
1)      Верный ответ без каких-либо объяснений — 1 балл.
2)      Одна арифметическая ошибка в одной из двух последних систем (в результате получились 4 решения, из которых два верны, два неверны) — 5 баллов.
3)      Арифметические ошибки, приводящие к другим последствиям — максимум 2 балла.
4)      Из каждых двух решений указано только одно (а симметричное забыто) — 2 балла.
5)      Объяснять, почему каждая из вспомогательных систем имеет только два решения (и откуда они берутся), не обязательно.


(11)
6D. Пусть p1,..., pn — различные простые числа. Пусть S — сумма всевозможных произведений четного (ненулевого) количества различных простых из этого набора. Докажите, что S+1 делится на 2n-2.

Решение. Рассмотрим произведения A=(1−p1)(1−p2)...(1−pn) и B=(1+p1)(1+p2)...(1+pn). Заметим, что при раскрытии скобок все произведения с чётным (в том числе нулевым) количеством множителей войдут в них с плюсом, а произведения нечётного числа множителей — с разными знаками. Поэтому если эти два произведения сложить, то останутся только произведения чётного числа множителей, причём каждое появится дважды. Итак, A+B = 2(S+1) (единица — это произведение нуля множителей, которое входит в A и B, но по определению не входит в S).
Заметим, что все числа p1,..., pn различны, поэтому все они, кроме, быть может, одного (двойки) — нечётны. Поэтому в произведении A=(1−p1)(1−p2)...(1−pn) все множители, кроме, быть может, одного — чётные, и оно делится на 2n−1. Аналогично и B делится на 2n−1, поэтому S+1=(A+B)/2 делится на 2n−2.

Критерии. Забыли про существование чётного простого числа (двойки) — 5 баллов.

 
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments