Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Задачи 2 тура для 10 класса

1. В выпуклом пятиугольнике провели все диагонали. Для каждой пары диагоналей, пересекающихся внутри пятиугольника, нашли меньший из углов между ними. Какие значения может принимать сумма этих пяти углов?
2. Пусть f (x) = x3+9x2+27x+24. Решите уравнение f (f (f (f (x)))) = 0.
3. Докажите, что из круга радиуса 1 можно вырезать четыре части, из которых можно составить прямоугольник 1×2,5. Части можно поворачивать и переворачивать.
4. Внутри квадрата со стороной 100 нарисовали 100 000 квадратов. Диагонали разных квадратов не имеют общих точек. Докажите, что сторона хотя бы одного квадрата меньше 1.
5. Пусть a и n — натуральные числа, причём известно, что an — 2014-значное число. Найдите наименьшее натуральное k такое, что a не может быть k-значным числом.
6. Павел придумал новый способ сложения чисел: он называет «павлосуммой» чисел x и y значение выражения x#y=(x+y)/(1–xy), если оно определено. Однажды он «сложил» своим способом числа a и b, «прибавил» к ним c, а к результату — d. В то же время его друг «сложил» числа c и d, «прибавил» к ним b, а к результату — a. Могли ли у них получиться разные результаты?
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp march 15, 20:18 12
Buy for 10 tokens
Непонятно ради чего вчера ему третий раз сделали тест. Спасибо всем, кто поддерживал меня в эти дни. В продолжение https://matholimp.livejournal.com/1888121.html , https://ru-teachers.livejournal.com/25753.html , https://matholimp.livejournal.com/1887827.html ,…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments