Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 2 тура для 6 класса

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1349856.html .



1. Годится любое подходящее разбиение.
2. Определим, в каком году может родиться человек, если при прибавлении к году рождения суммы его цифр получается 2013 или 2014. Ясно, что номер такого года не более 2014. Поскольку у каждого из чисел от 1 до 2014 сумма цифр не превышает 1+9+9+9=28, то номер года рождения не меньше 2013-28=1985. Перебрав все годы от 1985 до 2013, обнаружим, что Коля мог родиться в 1992 или 2010 годах, а Толя в 1988 или в 2006.
Поэтому возможны варианты: Толя старше на 4 года; Толя старше на 22 года; Коля старше на 14 лет.
3. Первая цифра может быть 2, 4, 6 или 8. Если первая 2, то последняя 1,4,7; если первая 4, то последняя 2,5,8; если первая 6, то последняя 0,3,(6 не подходит),9; если первая 8, то последняя 1,4,7. Итого 3+3+3+3=13 вариантов для первой и последней цифр. Для каждого из этих вариантов существует 8∙7∙6=336 способов выбрать две средних цифры. Итого 336∙12=4032 способа.
4. Выберем сумму в рублях, которой в конце года будет соответствовать 1 евро (т.е. 100 европейских центов). В начале года ей же соответствовали 108 европейских центов или 108∙100/80=135 американских центов. Следовательно, в конце года ей будут соответствовать 135∙100/90=150 американских центов.
5. Могла. Например, пусть Карлсон потратил 4∙340+25∙40=2360 рублей.
Предположим, что Карлсон может набрать такую сумму ещё каким-нибудь способом; для этого он должен потратить на блины на x рублей меньше, а на мёд на x рублей больше (или наоборот). Но тогда за x рублей можно купить как целое число блинов, так и целое число горшочков с мёдом. Значит, x делится на 25 и на 340. Но минимальный такой x равен 1700; однако Карлсон не может потратить на 1700 рублей меньше ни на мёд, ни на блины.
6. 1) Старший брат получил 70 кг серебра, что является пятой частью общего количества; значит, общая масса серебра равна 350 кг.
2) Остальные получили больше серебра, чем старший, т.е. каждый — больше 70 кг. Если братьев хотя бы пятеро, то в сумме они получат больше 350 кг; значит, братьев не больше чем четверо.
3) Но хотя бы четверо их должно быть, т.к. масса серебра превышает 300 кг. Значит, братьев четверо.
4) Общая масса клада 400 кг, поэтому масса золота 400-350=50 кг.
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp april 19, 06:59 18
Buy for 10 tokens
Канун дней рождения величайших мерзавцев, сильнее других повлиявших на историю ХХ века (рамки которого задним числом разумнее определять как 1918-2018), побуждает к юбилейному тексту. На исходе первой мировой волна социалистических революций прокатилась по многим воюющим странам. Вопреки мечте о…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments