1. Заметим, что число, написанное дважды — это общий делитель исходных чисел; максимальное такое число — это их НОД. Значит, все числа, написанные дважды — делители числа 50, то есть числа 1, 2, 5, 10, 25, 50. То есть среди выписанных чисел ровно 6 повторяющихся, и количество различных чисел равно 10+9-6=13.
2. Рассмотрим крайние вертикали и горизонтали. Уход с них внутрь прямоугольника не позволяет сократить периметр, но уменьшает площадь. Значит, наибольшую площадь имеет прямоугольник. Если А и В — длины его сторон, то А+В=18.
Перебирая варианты (1, 17), (2, 16) и т.д. различных прямоугольников с периметром 36, находим, что наибольшее значение площади АВ достигается, когда А=В=9, и эта площадь равна 81.
3. Пусть AB, CD, EF — три хорды, M — их точка пересечения. Докажем, что фигура, состоящая из отрезков AB и CD, симметрична относительно одного из диаметров.
Действительно, поскольку хорды AB и CD равны, то равны и дуги ACB и CAD, на которые они опираются; поскольку дуга AC общая, то дуги AD и BC тоже равны. Пусть K и L — середины дуг AC и BD, тогда AK=KC, AD=CB, DL=LB. Тогда обе дуги KL состоят из соответственно равных частей, поэтому они равны между собой и KL — диаметр. В силу равенства дуг AK и KC, DL и LB фигура симметрична относительно диаметра.
Из этого следует, что точка M лежит на указанном диаметре. Но аналогично можно доказать, что M лежит на другом диаметре, который аналогично построен для хорд AB и EF (и на третьем — для хорд CD и EF). Это всё разные диаметры, т.к. например образ хорды AB при симметрии относительно первого — CD, а относительно второго — EF.
Итак, точка M лежит одновременно на трёх диаметрах, поэтому она — центр окружности. Все три хорды проходят через центр, значит, являются диаметрами.
4. 1) Старший брат получил 75 кг серебра, что является восьмой частью общего количества; значит, общая масса серебра равна 600 кг.
2) Остальные получили больше серебра, чем старший, т.е. каждый — больше 75 кг. Если братьев хотя бы восемь, то в сумме они получат больше 600 кг; значит, братьев не больше чем семеро.
3) Но хотя бы семеро их должно быть, т.к. масса серебра 600 кг, а значит, масса всего клада больше 600 кг. Значит, братьев семеро.
4) Общая масса клада 700 кг, поэтому масса золота 700-600=100 кг.
5. Двое проезжают 15 километров, потом один отправляется пешком, а второй остается стеречь оба велосипеда до прихода третьего.
Легко убедиться, что из аналогичных вариантов, отличающихся только выбором пункта остановки, наилучший – когда она точно посередине. Усложнения, включающие встречное движение, лишены смысла из-за того, что ни двое не могут ехать сразу на одном велосипеде, ни один – сразу на двух.
6. Если обозначить числа Льва через a и b, то получим: a+b+ab=1000. Прибавим к обеим частям единицу: 1+a+b+ab=1001, или (1+a)(1+b)=7∙11∙13. Поскольку a и b натуральны, то 1+a>1 и 1+b>1. Отсюда следует, что выполняется один из шести вариантов:
а) 1+a=7, 1+b=11∙13, откуда a=6, b=142;
б) 1+a=11, 1+b=7∙13, откуда a=10, b=90;
в) 1+a=13, 1+b=7∙11, откуда a=12, b=76;
и ещё три варианта, которые получаются при замене a и b.
Ответ: 6 и 142, 10 и 90, 12 и 76.
Journal information