Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 2 тура для 7 класса

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350113.html .



1. Заметим, что число, написанное дважды — это общий делитель исходных чисел; максимальное такое число — это их НОД. Значит, все числа, написанные дважды — делители числа 50, то есть числа 1, 2, 5, 10, 25, 50. То есть среди выписанных чисел ровно 6 повторяющихся, и количество различных чисел равно 10+9-6=13.
2. Рассмотрим крайние вертикали и горизонтали. Уход с них внутрь прямоугольника не позволяет сократить периметр, но уменьшает площадь. Значит, наибольшую площадь имеет прямоугольник. Если А и В — длины его сторон, то А+В=18.
Перебирая варианты (1, 17), (2, 16) и т.д. различных прямоугольников с периметром 36, находим, что наибольшее значение площади АВ достигается, когда А=В=9, и эта площадь равна 81.
3. Пусть AB, CD, EF — три хорды, M — их точка пересечения. Докажем, что фигура, состоящая из отрезков AB и CD, симметрична относительно одного из диаметров.
Действительно, поскольку хорды AB и CD равны, то равны и дуги ACB и CAD, на которые они опираются; поскольку дуга AC общая, то дуги AD и BC тоже равны. Пусть K и L — середины дуг AC и BD, тогда AK=KC, AD=CB, DL=LB. Тогда обе дуги KL состоят из соответственно равных частей, поэтому они равны между собой и KL — диаметр. В силу равенства дуг AK и KC, DL и LB фигура симметрична относительно диаметра.
Из этого следует, что точка M лежит на указанном диаметре. Но аналогично можно доказать, что M лежит на другом диаметре, который аналогично построен для хорд AB и EF (и на третьем — для хорд CD и EF). Это всё разные диаметры, т.к. например образ хорды AB при симметрии относительно первого — CD, а относительно второго — EF.
Итак, точка M лежит одновременно на трёх диаметрах, поэтому она — центр окружности. Все три хорды проходят через центр, значит, являются диаметрами.
4. 1) Старший брат получил 75 кг серебра, что является восьмой частью общего количества; значит, общая масса серебра равна 600 кг.
2) Остальные получили больше серебра, чем старший, т.е. каждый — больше 75 кг. Если братьев хотя бы восемь, то в сумме они получат больше 600 кг; значит, братьев не больше чем семеро.
3) Но хотя бы семеро их должно быть, т.к. масса серебра 600 кг, а значит, масса всего клада больше 600 кг. Значит, братьев семеро.
4) Общая масса клада 700 кг, поэтому масса золота 700-600=100 кг.
5. Двое проезжают 15 километров, потом один отправляется пешком, а второй остается стеречь оба велосипеда до прихода третьего.
Легко убедиться, что из аналогичных вариантов, отличающихся только выбором пункта остановки, наилучший – когда она точно посередине. Усложнения, включающие встречное движение, лишены смысла из-за того, что ни двое не могут ехать сразу на одном велосипеде, ни один – сразу на двух.
6. Если обозначить числа Льва через a и b, то получим: a+b+ab=1000. Прибавим к обеим частям единицу: 1+a+b+ab=1001, или (1+a)(1+b)=7∙11∙13. Поскольку a и b натуральны, то 1+a>1 и 1+b>1. Отсюда следует, что выполняется один из шести вариантов:
а) 1+a=7, 1+b=11∙13, откуда a=6, b=142;
б) 1+a=11, 1+b=7∙13, откуда a=10, b=90;
в) 1+a=13, 1+b=7∙11, откуда a=12, b=76;
и ещё три варианта, которые получаются при замене a и b.
Ответ: 6 и 142, 10 и 90, 12 и 76.
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp april 19, 06:59 18
Buy for 10 tokens
Канун дней рождения величайших мерзавцев, сильнее других повлиявших на историю ХХ века (рамки которого задним числом разумнее определять как 1918-2018), побуждает к юбилейному тексту. На исходе первой мировой волна социалистических революций прокатилась по многим воюющим странам. Вопреки мечте о…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments