Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 2 тура для 8 класса

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350154.html .



1. Поскольку число 6 написано дважды, то оба исходных числа (обозначим их a и b) делятся на 6.
Если Верино число имеет 10 делителей, то его разложение - либо p9, либо p1∙q4 (где p и q — некие простые числа); первое невозможно, поскольку оно делится на 6. Валино число имеет 9 делителей, так что его разложение — либо s8, либо s2∙t2; опять же возможно только второе. При этом числа p и q равны 2 и 3 в каком-то порядке, числа s и t — тоже. Легко видеть, что НОД таких чисел равен либо 2∙32=18, либо 3∙22=12, и в любом случае имеет 2∙3=6 делителей. Значит, среди выписанных чисел ровно 6 повторяющихся, и количество различных чисел равно 10+9-6=13.
2. Заметим, что AM+MB=CM+MD и AM∙MB=CM∙MD (по теореме об отрезках пересекающихся хорд). Из этого нетрудно вывести, что AM=CM и BM=DM (или наоборот). Аналогично можно рассмотреть хорды AB и EF и получить, например, что AM=EM. Тогда M — центр окружности, проходящей через точки A, C и E, т.е. центр исходной окружности.
3. 1) Пусть масса золота в кладе равна z кг, а масса серебра — s кг. Старшему брату досталось z/5+s/7 кг; это меньше (z+s)/5, но больше (z+s)/7. Из этого следует,что братьев больше пяти, но меньше семи, то есть их шестеро.
2) Теперь получаем систему уравнений: z/5+s/7=100, z+s=600.
Решаем: z/5+s/7=z/6+s/6; (1/5-1/6)z=(1/6-1/7)s; z/30=s/42; z=(5/7)s.
Поскольку z+s=600, то z=250, s=350.
3) Младший брат получил 250/7 кг золота; значит, ему досталось 100-250/7=450/7 кг серебра. Доля этого серебра от всего серебра в кладе составляет 450/7:350=9/49.
Ответ: 9/49.
4. Двое едут на велосипеде 10 километров, потом один из них оставляет велосипед у дороги и идет следующие 10 километров пешком, другой проезжает и следующие 10 километров и тоже оставляет велосипед (который потом должен подобрать первый), третий же идет пешком первые 10 километров, а остаток едет на подобранном велосипеде первого.
В любом случае они суммарно проедут 60 км, а пройдут 30. Значит, найдется хотя бы один из них, который пройдет не меньше 10 километров, а остальное проедет. Если у него это ровно 10 и 20, то получится 3 часа 20 минут, а любое увеличение 10 - только ухудшение.
5. Могла. Например, пусть Карлсон потратил 4∙340+25∙40=2360 рублей.
Предположим, что Карлсон может набрать такую сумму ещё каким-нибудь способом; для этого он должен потратить на блины на x рублей меньше, а на мёд на x рублей больше (или наоборот). Но тогда за x рублей можно купить как целое число блинов, так и целое число горшочков с мёдом. Значит, x делится на 25 и на 340. Но минимальный такой x равен 1700; однако Карлсон не может потратить на 1700 рублей меньше ни на мёд, ни на блины.
6. Рассмотрим сначала крайние вертикали и горизонтали. Уход с них внутрь прямоугольника не позволяет сократить периметр, но уменьшает площадь. Значит, наибольшую площадь имеет прямоугольник. Если А и В – длины его сторон, то А+В=1007.
Теперь среди различных прямоугольников с периметром 2014 ищем прямоугольник с наибольшим значением площади АВ. Так как 4АВ= (А+В)2— (А—В)2= 10072—(А—В)2 , то для достижения наибольшего значения площади АВ нужно выбрать А и В так, чтобы их разность была как можно меньше. Так как сумма А и В нечётна, то их нельзя взять равными. Поэтому наименьшее возможное значение А—В=1 . С учётом А+В=1007 находим А=504, В=503 и АВ=253512 .
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp april 19, 06:59 18
Buy for 10 tokens
Канун дней рождения величайших мерзавцев, сильнее других повлиявших на историю ХХ века (рамки которого задним числом разумнее определять как 1918-2018), побуждает к юбилейному тексту. На исходе первой мировой волна социалистических революций прокатилась по многим воюющим странам. Вопреки мечте о…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments