1. Поскольку число 6 написано дважды, то оба исходных числа (обозначим их a и b) делятся на 6.
Если Верино число имеет 10 делителей, то его разложение - либо p9, либо p1∙q4 (где p и q — некие простые числа); первое невозможно, поскольку оно делится на 6. Валино число имеет 9 делителей, так что его разложение — либо s8, либо s2∙t2; опять же возможно только второе. При этом числа p и q равны 2 и 3 в каком-то порядке, числа s и t — тоже. Легко видеть, что НОД таких чисел равен либо 2∙32=18, либо 3∙22=12, и в любом случае имеет 2∙3=6 делителей. Значит, среди выписанных чисел ровно 6 повторяющихся, и количество различных чисел равно 10+9-6=13.
2. Заметим, что AM+MB=CM+MD и AM∙MB=CM∙MD (по теореме об отрезках пересекающихся хорд). Из этого нетрудно вывести, что AM=CM и BM=DM (или наоборот). Аналогично можно рассмотреть хорды AB и EF и получить, например, что AM=EM. Тогда M — центр окружности, проходящей через точки A, C и E, т.е. центр исходной окружности.
3. 1) Пусть масса золота в кладе равна z кг, а масса серебра — s кг. Старшему брату досталось z/5+s/7 кг; это меньше (z+s)/5, но больше (z+s)/7. Из этого следует,что братьев больше пяти, но меньше семи, то есть их шестеро.
2) Теперь получаем систему уравнений: z/5+s/7=100, z+s=600.
Решаем: z/5+s/7=z/6+s/6; (1/5-1/6)z=(1/6-1/7)s; z/30=s/42; z=(5/7)s.
Поскольку z+s=600, то z=250, s=350.
3) Младший брат получил 250/7 кг золота; значит, ему досталось 100-250/7=450/7 кг серебра. Доля этого серебра от всего серебра в кладе составляет 450/7:350=9/49.
Ответ: 9/49.
4. Двое едут на велосипеде 10 километров, потом один из них оставляет велосипед у дороги и идет следующие 10 километров пешком, другой проезжает и следующие 10 километров и тоже оставляет велосипед (который потом должен подобрать первый), третий же идет пешком первые 10 километров, а остаток едет на подобранном велосипеде первого.
В любом случае они суммарно проедут 60 км, а пройдут 30. Значит, найдется хотя бы один из них, который пройдет не меньше 10 километров, а остальное проедет. Если у него это ровно 10 и 20, то получится 3 часа 20 минут, а любое увеличение 10 - только ухудшение.
5. Могла. Например, пусть Карлсон потратил 4∙340+25∙40=2360 рублей.
Предположим, что Карлсон может набрать такую сумму ещё каким-нибудь способом; для этого он должен потратить на блины на x рублей меньше, а на мёд на x рублей больше (или наоборот). Но тогда за x рублей можно купить как целое число блинов, так и целое число горшочков с мёдом. Значит, x делится на 25 и на 340. Но минимальный такой x равен 1700; однако Карлсон не может потратить на 1700 рублей меньше ни на мёд, ни на блины.
6. Рассмотрим сначала крайние вертикали и горизонтали. Уход с них внутрь прямоугольника не позволяет сократить периметр, но уменьшает площадь. Значит, наибольшую площадь имеет прямоугольник. Если А и В – длины его сторон, то А+В=1007.
Теперь среди различных прямоугольников с периметром 2014 ищем прямоугольник с наибольшим значением площади АВ. Так как 4АВ= (А+В)2— (А—В)2= 10072—(А—В)2 , то для достижения наибольшего значения площади АВ нужно выбрать А и В так, чтобы их разность была как можно меньше. Так как сумма А и В нечётна, то их нельзя взять равными. Поэтому наименьшее возможное значение А—В=1 . С учётом А+В=1007 находим А=504, В=503 и АВ=253512 .