Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 2 тура для 9 класса

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350523.html .



1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Поскольку число 6 написано дважды, то оба исходных числа (обозначим их a и b) делятся на 6.
Если Верино число имеет 10 делителей, то его разложение - либо p9, либо p1∙q4 (где p и q — некие простые числа); первое невозможно, поскольку оно делится на 6. Валино число имеет 9 делителей, так что его разложение — либо s8, либо s2∙t2; опять же возможно только второе. При этом числа p и q равны 2 и 3 в каком-то порядке, числа s и t — тоже. Легко видеть, что НОД таких чисел равен либо 2∙32=18, либо 3∙22=12, и в любом случае имеет 2∙3=6 делителей. Значит, среди выписанных чисел ровно 6 повторяющихся, и количество различных чисел равно 10+9-6=13.
3. 1) Пусть масса золота в кладе равна z кг, а масса серебра — s кг. Старшему брату досталось z/5+s/7 кг; это меньше (z+s)/5, но больше (z+s)/7. Из этого следует,что братьев больше пяти, но меньше семи, то есть их шестеро.
2) Теперь получаем систему уравнений: z/5+s/7=100, z+s=600.
Решаем: z/5+s/7=z/6+s/6; (1/5-1/6)z=(1/6-1/7)s; z/30=s/42; z=(5/7)s.
Поскольку z+s=600, то z=250, s=350.
3) Младший брат получил 250/7 кг золота; значит, ему досталось 100-250/7=450/7 кг серебра. Доля этого серебра от всего серебра в кладе составляет 450/7:350=9/49.
Ответ: 9/49.
4. Для начала расположим в круге прямоугольник с вершинами (±√3/2, ±1/2). Его стороны равны 1 и √3. Далее нарисуем два маленьких прямоугольника: один с вершинами (±1/2, 1/2) и (±1/2, √3/2), и второй, симметричный первому. Стороны каждого из этих прямоугольников равны 1 и √3/2-1/2. Из этих трёх прямоугольников легко сложить один со сторонами 1 и √3+2∙(√3/2-1/2)=2√3 - 1 >2,4.
5. Пусть a – k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an – 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. Нужно проверить, что a#(b#c)=(a#b)#c. Это можно доказать прямым вычислением, а можно заметить, что если x и y — тангенсы углов A и B, то x#y — тангенс угла A+B, и поэтому требуемое свойство следует из того, что tg(A+(B+C))=tg((A+B)+C).
Замечание. При этом возможно, что одно из значений определено, а второе не определено, например, при a=2, b=c=1.
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp april 19, 06:59 18
Buy for 10 tokens
Канун дней рождения величайших мерзавцев, сильнее других повлиявших на историю ХХ века (рамки которого задним числом разумнее определять как 1918-2018), побуждает к юбилейному тексту. На исходе первой мировой волна социалистических революций прокатилась по многим воюющим странам. Вопреки мечте о…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments