Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 2 тура для 10 класса

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350808.html .



1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Заметим, что f (x) = (x+3)3-3.
Поэтому f ( f (x)) = f ((x+3)3-3) = ( [(x+3)3-3]+3) 3-3=(x+3)9-3;
аналогично получаем, что f (f (f (x))) = (x+3)27-3 и f (f (f (f (x)))) = (x+3)81-3.
Итак, нужно решить уравнение (x+3)81-3 = 0; его корень равен -3 + 81√3.
3. Можно вырезать из круга прямоугольник со сторонами 1 и √3, а также три трапеции. Из этих деталей получается прямоугольник со сторонами 1 и √3+1/2+(√3/2-1/2)=(3√3)/2>2,5.
4. Пусть сторона каждого квадрата не меньше 1. Для начала докажем, что расстояние между центрами квадратов не меньше 0,49. Действительно, пусть O и A – центры квадратов и OA<0,49, В и С - проекции А на диагонали квадрата с центром О. Тогда AC<0,49 . Хотя бы одна из прямых, содержащих диагонали квадрата с центром A, пересекает прямую OC в точке, удалённой от A не более чем на 0,49√2. Но тогда сторона этого квадрата не превышает 0,98.
Теперь используем принцип Дирихле. Разобьём исходный квадрат на 90000 квадратиков со стороной 1/3. В одном из этих квадратиков окажется хотя бы два центра, но расстояние между ними не может превышать √2/3<0,49.
5. Пусть a – k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an – 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. Нужно проверить, что a#(b#c)=(a#b)#c. Это можно доказать прямым вычислением, а можно заметить, что если x и y — тангенсы углов A и B, то x#y — тангенс угла A+B, и поэтому требуемое свойство следует из того, что tg(A+(B+C))=tg((A+B)+C).
Замечание. При этом возможно, что одно из значений определено, а второе не определено, например, при a=2, b=c=1.
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp march 15, 20:18 12
Buy for 10 tokens
Непонятно ради чего вчера ему третий раз сделали тест. Спасибо всем, кто поддерживал меня в эти дни. В продолжение https://matholimp.livejournal.com/1888121.html , https://ru-teachers.livejournal.com/25753.html , https://matholimp.livejournal.com/1887827.html ,…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments