Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 2 тура для 11 класса

Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350976.html .



1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Заметим, что f (x) = (x+3)3-3.
Поэтому f ( f (x)) = f ((x+3)3-3) = ( [(x+3)3-3]+3) 3-3=(x+3)9-3;
аналогично получаем, что f (f (f (x))) = (x+3)27-3 и f (f (f (f (x)))) = (x+3)81-3.
Итак, нужно решить уравнение (x+3)81-3 = 0; его корень равен -3 + 81√3.
3. Сначала можно вырезать из круга шестиугольник ширины 1, симметричный относительно пары взаимно перпендикулярных диаметров. Из остатка можно вырезать три трапеции. Получается прямоугольник со сторонами 1 и 2+2∙(√3/2-1/2) =1+√3 >2,7.
4. Поскольку высоты боковых граней одинаковы, то расстояния от проекции вершины до сторон также одинаковы и равны 11, т.е. радиус вписанной в основание окружности равен 11.
По известной формуле, площадь треугольника равна 62∙11/2=341. В то же время площадь вписанного круга πr2=121π>341, что невозможно.
5. Пусть a – k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an – 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. В алгебре Павла:
x @ y=x # x # ... # x (y раз),
y @ x=y # y # ... # y (x раз).
Так как (А+В)/(1-АВ)=tg(arctg(A)+arctg(B)), то А # В=tg(arctg(A)+arctg(B)).
Следовательно,
x @ y= tg(y∙arctg(x)),
y @ x= tg(x∙arctg(y)).
Если x @ y= y @ x, то x∙arctg(y)= y∙arctg(x), т.е. arctg(x)/x= arctg(y)/y.
Рассмотрим функцию F(z)=arctg(z)/z (при z>0), её производная
F'(z)=(z/(1+z2)-arctg(z))/z2 .
Так как arctg(z)>z/(1+z2) , то F'(z)<0.
Следовательно, F(z) монотонно убывает, то есть принимает различные значения при различных аргументах. Поэтому равенство F(x)=F(y) невозможно, то есть невозможно равенство arctg(x)/x= arctg(y)/y .
Итак, x @ y не может оказаться равным y @ x. Значит, ответ на поставленный в задаче вопрос - отрицательный.
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp april 19, 06:59 18
Buy for 10 tokens
Канун дней рождения величайших мерзавцев, сильнее других повлиявших на историю ХХ века (рамки которого задним числом разумнее определять как 1918-2018), побуждает к юбилейному тексту. На исходе первой мировой волна социалистических революций прокатилась по многим воюющим странам. Вопреки мечте о…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments