Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 8 класса

1. Докажите, что для любого n>3 существует n-угольник, у которого никакие две диагонали не параллельны.
2. BK – биссектриса треугольника ABC. Известно, что AB=AC, а BC=AK+BK. Найдите углы треугольника АВС.
3. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
4. Даны 15 составных чисел, не превосходящих 2014. Докажите, что какие-то два из них имеют общий делитель, больший 1.
5. Дан квадрат 100х100 без угловой клетки. Можно ли разрезать его по клеткам на 33 фигуры, у которых одинаковые площади и одинаковые периметры?
6. В шестизначном числе поставили знак произведения после первых трех цифр, и оказалось, что произведение двух полученных трехзначных чисел в 7 раз меньше исходного числа. Какое число было написано?
7. У нас есть набор из N2 карточек, на каждой карточке с одной стороны написано число, с другой стороны пусто. Написанные числа попарно различны. Эти карточки выложены в виде квадрата NхN пустой стороной (рубашкой) вверх. Разрешается перевернуть любую карточку и тем самым узнать написанное на ней число. Доказать, что не более чем за 8N переворачиваний можно найти карточку, число на которой меньше чисел всех её соседей (по стороне).
8. Назовем число натуральное возрастающим, если в нем цифры идут в порядке строгого возрастания (например, 1589 - возрастающее, а 447 - нет). Какое наименьшее количество возрастающих чисел надо сложить, чтобы получить 2014?
9. Найдите натуральные А, В и С из уравнения 2014=2А−2В−2В+С .
10. В треугольнике АВС углы В и С равны 30° и 105°, а Р – середина стороны ВС. Найдите угол ВАР.

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1411359.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments