Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 9 класса

1. Докажите, что для любого n>3 существует n-угольник, у которого никакие две диагонали не параллельны.
2. Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое наименьшее возможное значение может принимать НОК этих чисел?
3. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
4. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
5. Дан квадрат 100х100 без угловой клетки. Можно ли разрезать его на 33 фигуры, у которых одинаковые площади и одинаковые периметры?
6. Найдите натуральные А, В и С из уравнения 2014=2А−2В−2В+С .
7. В таблице 30х30 клеток поставлено 162 плюса и 144 минуса (в каждой клетке не более одного знака) так, что в каждой строке и каждом столбце таблицы стоит не более 17 знаков. Для каждого плюса подсчитали, сколько минусов находится в той же строке. Для каждого минуса подсчитали, сколько плюсов находится в том же столбце. Какое наибольшее значение может иметь сумма найденных чисел?
8. В треугольнике АВС выбрана точка D на стороне АВ так, что углы АСD и АВС равны. Пусть S − центр описанной окружности треугольника ВСD. Докажите, что точки А, С, S и середина BD лежат на одной окружности.
9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
10. Пусть Н – такая точка внутри треугольника АВС, что равны величины углов НАВ и НСВ, а также НВС и НАС. Докажите, что Н – точка пересечения высот треугольника АВС.

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1411835.html , http://matholimp.livejournal.com/1411359.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp ноябрь 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments