Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 5 класса

Условия – на http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .

1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.


2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.


3. Саша зачеркнул на 25-й странице учебника все слова, в которых нет буквы А, потом он зачеркнул все слова, в которых нет буквы Б, а потом он нашел все слова, где есть и буква О, и буква А, и тоже зачеркнул их. Костя на той же странице своего учебника зачеркнул слова, где нет Б, но есть А или О (возможно, обе сразу), и после этого он зачеркнул все слова, где нет ни буквы А, ни буквы О. Могло ли у Саши остаться незачеркнутыми больше слов, чем у Кости?
Решение. Достаточно показать на кругах Эйлера. У Кости незачеркнутыми останутся все слова, в которых есть буквы А и Б. А у Саши – только те из этих слов, в которых нет буквы О.
Ответ: Нет.


4. В каждом из двух классов по 30 учеников. Мальчиков в первом классе в 2 раза больше, чем во втором, а девочек – в 3 раза меньше, чем во втором. Сколько мальчиков и девочек в каждом классе?
Решение. Исходя из условия, можно составить уравнения:
Для 1 класса: M∙2+D=30 ,
Для 2 класса: M+D∙3=30 , где M – количество мальчиков во 2 классе, а D – количество девочек в 1 классе.
Перепишем 2 полученных уравнения:
M∙2+D=30,
M+D∙3=30
Из 1-го уравнения получаем:
D=30- M∙2
Из 2-го получаем:
M=30- D∙3=30-(30-M∙2)∙3=30-(30∙3-M∙2∙3)=30-90+M∙6
M=M∙6-60
60=5M
M=12
Тогда D=30-12∙2=6
Итого:
В 1 классе – 6 девочек и 24 мальчика
Во 2 классе – 12 мальчиков и 18 девочек.
Ответ: В 1 классе – 6 девочек и 24 мальчика. Во 2 классе – 12 мальчиков и 18 девочек.


5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.


6. Первоначально на доске написано число 1. Разрешается любое написанное на доске число умножить на 3 или переставить в нём цифры. Можно ли таким образом получить 999?
Решение. Эту задачу удобно решать с конца.
Допустим, что мы смогли при помощи данных в условии операций получить число 999.
Переставлять цифры в этом числе бессмысленно, поэтому получить его мы могли только умножением на 3 числа 333.
В числе 333, аналогично, менять цифры местами нет смысла, поэтому мы могли получить его лишь умножением на 3 числа 111.
В этом числе опять менять цифры нет смысла, поэтому получить его мы могли только умножением на 3 числа 37.
В числе 37 мы можем переставить цифры, тогда получим число 73. Число 37 можно получить перестановкой цифр также из чисел 370, 307, 730, 703 (если считать, что ведущий ноль откидывается).
Заметим, что ни одно из перечисленных шести чисел не делится на три нацело => используя операции, данные в условии, из числа 1 невозможно получить 999.
Ответ: Нельзя.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo nemihail 11:00, yesterday 103
Buy for 20 tokens
Думаю многие из вас сталкивались с ситуацией, когда приходилось рвать отношения из-за финансов (автор фото: Михаил Нефедов) И самое страшное тут не потерять деньги, а потерять отношения. Но есть достаточно интересный выход из этой ситуации. Ну во-первых всегда работает золотое правило, не…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments