Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 7 класса

Условия – на http://matholimp.livejournal.com/1411359.html .



1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.


2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.

3. Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое наименьшее возможное значение может принимать НОК этих чисел?
Решение.
Пример: НОК(40, 40, 20)=40.
Оценка. Все три числа не могут быть равными, поскольку 100 не делится на 3.
Значит, либо они все попарно неравны, либо два равны, а третье отличается.
Случай 1. ac, а значит, он равен хотя бы 2с≥66. Тогда b ≤ c/2, a ≤c/2, откуда 100=a+b+c ≤ c+c/2+c/2, c≥ 50. В этом случае НОК не меньше 50.
Случай 2а. a=b≤ c аналогичен.
Случай 2б. a≤b=c. Как и в пункте 1, можно считать, что c делится на a, поэтому с ≤ a/2, 100 = a+b+c ≤ c/2 + 2c, откуда, c≥40, то есть НОК ≥40.
Ответ: 40.


4. Докажите, при любой расстановке чисел 1, 2, …, 10 по кругу найдутся три соседних числа с суммой не менее 18.
Решение. Рассмотрим все числа, кроме 1. Очевидно, их можно разбить на три тройки.
В то же время сумма этих девяти чисел равна 2+3+...+10=54, поэтому хотя бы в одной
из троек сумма не меньше 18.


5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.

6. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 11, заканчивается на 11 и делится на 7. Объясните, почему это число является наименьшим из удовлетворяющих условию.
Ответ: 11011.
Решение. Достаточно забраковать все меньшие натуральные числа: 11, 111, 1111.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments