Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 10 класса

Условия – на http://matholimp.livejournal.com/1412298.html .



1. Выберите на каждой стороне квадрата по одной точке так, чтобы образованный ими четырехугольник имел наименьший периметр.
Решение. Разместим искомый четырехугольник внутри одной из клеток стандартного разбиения плоскости на квадраты и симметрично отразим его в соседние клетки. Тогда периметр четырехугольника превратится в ломаную, соединяющую одну из его вершин с точкой, получающейся из неё параллельными переносами на 2 по горизонтали и по вертикали. Ясно, что кратчайшая длина ломаной достигается в случае прямолинейного отрезка. Значит, стороны четырехугольника должны быть наклонены под углом 45° к линиям сетки (сторонам исходного квадрата).
Ответ: Это может быть любой прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям данного квадрата.


2. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
Решение.
Обозначим время, за которое все трое суммарно выкопают траншею, за t (дней). Тогда их суммарная производительность равна 1/t. Производительность пар, согласно условию, равна 1/(t+2), 1/(t+5) и 1/(t+10). Если сложить производительность пар, то получится удвоенная общая производительность (как если бы копали два первых, два вторых и два третьих землекопа): 1/(t+2) + 1/(t+5) + 1/(t+10) = 2/t.
Отсюда t/(t+2) + t/(t+5) + t/(t+10)=2;
вычитая 1 из каждой дроби, получаем равносильное уравнение
1/(t+2) + 1/(t+5) + 1/(t+10)=1.
Угадываем один из корней этого уравнения: t=10. Других положительных корней уравнение иметь не может, поскольку каждая дробь при положительном t убывает.
Таким образом, все трое выроют траншею за 10 дней. Суммарная производительность троих равна 1/10 траншеи в день, а суммарная производительность двух самых быстрых – 1/12 траншеи в день. Производительность самого медленного равна 1/10-1/12=1/60 траншеи в день.
Ответ: за 60 дней. (А два других — за 20 и 30 дней)
Примечание. Условие о целочисленности не используется, но наводит на мысль о подборе корней.

3. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
Решение. Пусть d – основание системы счисления, а р и р+1 − искомые числа. Прежде всего, заметим, что р≤d , иначе запись р(р+1) в этой системе счисления имела бы не менее трёх цифр.
Пусть с и с+1 − искомые цифры. Тогда р(р+1)=сd+с+1 , откуда р2+р−1=с(d+1) .
Сразу напрашивается вариант с=1 с d= р2+р−2. Подходящее d можно подобрать для любого целого р>1 , но р(р+1) всегда будет записываться как 12.
Постараемся найти с>1 . Прежде всего, так как р(р+1) чётно, то р2+р−1 нечётно. Поэтому с не может быть чётным.
Если р(р+1) делится на 3, то р2+р−1 не делится на 3. В противном случае р даёт при делении на 3 остаток 1, а р+1 даёт при делении на 3 остаток 2. В этом случае р(р+1) даёт при делении на 3 остаток 2. Значит, р2+р−1 не делится на 3 ни при каком целом р. Поэтому с тоже не может делиться на 3.
Аналогично можно показать, что с не может делиться на 7.
Из цифр от 0 до 9 остаётся только 5. Она подходит. Кроме 7∙8=56, есть примеры и в других системах счисления. Например, 17∙18=306 записывается как 56 в системе счисления с основанием 60.
Ответ: 12 или 56.



4. Костя выписал на доску 30 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061. Докажите, что в ней содержится не более 20 точных квадратов.
Решение. Смотрим на последнюю цифру. На каждом шаге она увеличивается на 1, но в случае точных квадратов она не может быть равна 2, 3, 7 и 8. Значит, 4 из каждых 10 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061 заведомо не являются точными квадратами. Следовательно, точных квадратов заведомо не может быть больше 18.

5. Вещественные числа x и y таковы, что x4y2+x2+2x3y+6x2y+8≤0 . Докажите, что x≥−1/6.
Решение. Если x≤-1/6, то дискриминант этого квадратного трехчлена относительно y отрицателен. Следовательно, трехчлен принимает только положительные значения.

6. Решите систему уравнений:
2a + 3b = 5b
3a + 6b = 9b
Ответ: a=b=1 .
Решение. Так как ответ легко угадывается, то проблема лишь в доказательстве его единственности.
Прежде всего, заметим, что функция (2/5)x +(3/5)</sup>x</sup> строго убывает. Значит, 2x+3x≥5x для x≤1 и 2x+3x≤5x для x≥1 . Аналогично для второго уравнения.
Рассмотрим случай, когда 1 лежит между a и b . Так как оба варианта аналогичны, то для определённости считаем, что a≤1≤b . Тогда 6b=9b−3a≤6a , что приводит к противоположному неравенству b≤a .
Другой случай, когда a и b лежат с одной стороны от 1 также распадается в пару аналогичных вариантов. Пусть, для определённости, a≤1 и b≤1 . Так как 6b=9a−3a<6a , то b≤a . Но так как 2a=5b−3b≤2b , то a≤b . Опять противоречие.
Случаи a=1≠b и a≠1=b отвергаются ещё проще.


7. Маша красит клетки белой доски 10х10. Она может покрасить любой вертикальный ряд клеток синей краской или любой горизонтальный ряд красной краской (каждый ряд красят не более одного раза). Если синяя краска ложится поверх красной, получается синяя клетка, а если красная поверх синей, то краски вступают в реакцию и обесцвечиваются, получается белая клетка. Может ли на доске оказаться 33 красных клетки?
Решение. Достаточно заметить, что в любой момент можно так переставить строки и столбцы на доске, чтобы красные клетки образовали прямоугольник. Его площадь была бы равна 33 только в случаях 1х33 или 3х11. Но ни тот, ни другой не помещаются внутри квадрата 10х10.
Ответ: Нет.


8. В треугольнике АВС выбрана точка D на стороне АВ так, что углы АСD и АВС равны. Пусть S − центр описанной окружности треугольника ВСD. Докажите, что точки А, С, S и середина BD лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку S лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD, то угол ADS прямой. Для решения задачи нам осталось доказать, что угол ACS прямой (тогда четырехугольник ADSC будет вписанным, поскольку сумма его противоположных углов 180 градусов). Действительно, прямая АС - касательная к описанной окружности треугольника BCD, так как угол между прямыми АС и ВС равен половине дуги, заключенной между ними (углу АВС).

9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
Решение. Начнём с того, что синусы всегда положительны. Косинусы же положительны только для острых углов. Поэтому треугольник А1В1С1 остроугольный. Если треугольник АВС тупоугольный, то наибольшим окажется какой-то из его углов. Не теряя общности считаем, что тупой угол – А. Тогда условие сводится к соотношениям: A= 90°+A1, В= 90°−В1, С= 90°−С1. Вычитаем из первого равенства два других, выделяем в итоговом соотношении суммы углов каждого треугольника и заменяем их на 180°. После упрощений находим А=135° .
Если же оба треугольника остроугольные, то A= 90°−A1 , В= 90°−В1 , С= 90°−С1 , в результате общая сумма шести углов равна 270°, что невозможно.
Ответ: 135° .


10. Решите уравнение в простых числах: 100q+80=p3+рq2 .
Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно q:
рq2−100q+(p3−80)=0.
Его дискриминант равен 10000−4р(p3−80). Заметим, что при p≥11 этот дискриминант отрицателен, и уравнение не имеет корней. Для остальных простых p (2, 3, 5, 7) дискриминант положителен, но не является точным квадратом, поэтому корни уравнения — нецелые.
Ответ: Решений нет.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments