Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Матричные методы обучения

Текст моей недавней статьи на http://scipro.ru/conf/proceedings2_23012018.pdf#page=66 (стр. 66-77).

Полвека назад исходным пунктом исследований автора был поиск педагогических технологий, нацеленных на развитие математических способностей школьников [1, 5, 8, 9, 14]. Сравнительно быстро стало ясно, что в раннем возрасте детей не следует пичкать заумными абстрактными теориями. Более того, на длительных периодах обучения конечный эффект получался заметно выше в тех случаях, когда на начальной стадии занятия математикой вообще заменялись развитием речи и языками. Методом «от противного» в результате проб, ошибок и методологического обоснования автор пришёл к наиболее оптимальной в названном контексте методике, которая получила название «матричной», и к формулированию её основных принципов [13, 17, 19]:
1) языков должно быть не менее трёх (лучше пять),
2) преподавание разных языков должно быть жёстко синхронизировано,
3) важную роль играет система специальных упражнений (см. ниже).
В начале 1990-х годов был проведён первый эксперимент в формате факультатива в «Школе иностранных языков», специально для этого созданной на базе одной из детских библиотек Иванова [13, 18, 21]. А с середины 1990-х годов методика использовалась несколькими частными школами в Санкт-Петербурге [12, 15, 16]. К сожалению, подавляющее большинство материалов эксперимента не было сразу опубликовано, а последующее распространение методик происходило «методом испорченного телефона»: из уст в уста по длинной цепочке и преимущественно людьми, весьма далёкими от математики. Это неизбежно приводило к искажению сути методик, от которых фактически осталось только название. В качестве примера можно привести опусы некоего Замяткина [4], связывающего суть своей одноимённой методики с фильмом «Матрица».
Сказанное выше побуждает автора опубликовать ключевые идеи и технологии. Их актуальность теперь резко возросла в контексте бурного развития методов машинного обучения [2, 3, 6], к которым автор также причастен на протяжении десятилетий [10, 11, 20].

В «норме» мозг человека имеет структуру «мусорного ведра»: попадающая в него информация обычно никак не систематизируется. Нет системы и в поиске информации, блестящим примером чему служит чеховская «Лошадиная фамилия». Цель матричной методики − структурировать мозг ребёнка по принципу координатной АТС. Каждое понятие в памяти должно быть тесно и активно связано со многими, ассоциированными с ним по смыслу. Связи могут быть весьма различными, но важнейшая на этапе обучения − связь между переводами одного и того же слова на несколько разных языков.
Перевод − лишь одна из координат многомерного массива. Другие координаты − функциональные замены, возникающие при склонении (спряжении), переходах от существительного к глаголу или прилагательному и обратно и т.п. В процессе обучения важно не только акцентировать подобные связи, но систематически визуализировать их в форме таблиц. На начальном этапе таблицы только демонстрируются, но затем становятся основным средством упражнений в форме заполнения клеток, оставленных педагогом свободными. Например:
птица
       плывёт
       ползёт    электричка

Ученик должен догадаться, что в первом столбце здесь нужно указать животное, во втором − глагол, выражающий способ его передвижения, а в третьем− аналогичный вид транспорта. Строк и столбцов может быть гораздо больше. Когда в таблице не останется свободных клеток, её нужно будет перевести на все изучаемые языки. Разновидность задания − таблица, с самого начала включающая слова из разных языков. Огромная польза таких упражнений состоит в формировании потребности ученика самостоятельно заполнять подобные лакуны по мере их обнаружения.
Матричное представление удобно использовать и для демонстрации сочетаемости различных слов. Прежде всего, для выделения приемлемых вариантов перевода в гнёздах синонимов и-или омонимов. Речь здесь может идти как непосредственно о замене слов одного языка словами другого, так и о контекстных связях внутри одного языка. Например, приемлемость вариантов перевода английского слова driver на русский язык в зависимости от выбора конкретного вида транспорта можно представить следующей булевской матрицей:
             водитель   шофер   машинист   вагоновожатый
автомобиль       1        1         0            0
автобус          1        1         0            0
троллейбус       1        0         0            0
трамвай          1        0         1            1
локомотив        0        0         1            0

Здесь 1 обозначает приемлемые варианты, а 0 − неприемлемые.
Другой случай −сочетаемость корней в сложных словах:
            -воз    -ход    -цикл    -трасса    -провод
паро-         1       1
тепло-        1       1                 1
электро-      1       1                            1
мото-         1               1         1
молоко-       1                                    1
водо-         1                                    1

Здесь уместно обратить внимание на различную семантику слов, образованных по общему образцу. Молоковоз перевозит молоко, а не использует его в качестве топлива. Водовоз перевозит воду, но является не видом транспорта, а водителем.
Многочисленные аналогичные примеры посвящены сочетаемости корней с приставками и суффиксами, а также с их комбинациями.
Близкий смысл имеют матрицы сочетаемости признаков. Например, цвета ягод:
                малина    смородина    черешня    шелковица
белая             1           1           1           1
красная           1           1           1
чёрная                        1                       1

В подобных примерах важно подчеркнуть, что в разных языках обозначение цвета может существенно различаться. Например, по-русски черника ассоциируется с чёрным цветом, но по-английски blueberry − с синим. Тогда как в русском языке есть голубика − пусть и родственная, но совершенно другая ягода.
Более того, выбор названия часто далёк от нужного цвета в палитре: знаменитая «чёрная роза» Блока − не чёрная и не розовая. «Чёрная малина» − вообще не малина, а альтернативное название для ежевики (фактический цвет которой может быть сизым или фиолетовым). Наконец, выражение «зелёная ягода» обычно указывает на недозрелость, а не цвет (в случае недозрелой морошки он красный). Исключение: в Финляндии разводят зелёную смородину.
В случае имён собственных перевод по смыслу делают крайне редко, хотя его понимание часто бывает важным. Неосведомлённым невозможно догадаться, что Черногория и Монтенегро — одна и та же страна. Гораздо реже переводят на славянские языки Нидерланды, но Голландия имеет уже другой смысл. Любопытнее с Беларусью: в балтийских языках «белый» превращается в «balt» (а Балтийское море для латышей и литовцев — «Белое»), из-за чего название страны превращается в «Балто-Россию».
Почти за сто лет до основания Санкт-Петербурга на его месте стоял город со шведско-немецким названием Ниенштадт. В буквальном переводе — Новгород. Однако «Ниен» здесь не просто «новый», а совпадает со шведским названием реки Невы (это она — «Новая» река). Поэтому корректный перевод: «Невский город» или «город на Новой реке» [7].
Все эти примеры уже вплотную примыкают к идее соответствий, замыканий и двойственности Галуа с многочисленными реализациями для построения корректных классификаций в различных областях знаний [22]. Важно, что ученик (или робот) может строить таблицу соответствия между объектами и их свойствами непосредственно по мере их изучения. Другое важное замечание состоит в том, что (в отличие от всех ранее рассмотренных примеров) в клетках таких таблиц могут находиться не написанные слова, а рисунки или пиктограммы. Это позволяет использовать таблицы на самых ранних этапах обучения, задолго до знакомства с буквами.
Школьная геометрия начинается с аксиом и доказательств. При этом потерян важный этап приобретения и накопления эмпирических знаний, продолжавшийся в истории самой науки более трёх тысяч лет. На этом этапе весьма уместно сравнение свойств фигур и тел в таблицах соответствия. Прежде всего, указать различие между пространственными телами и плоскими фигурами, имеющими острые вершины или рёбра, либо гладкую границу, выпуклыми, строго выпуклыми, либо невыпуклыми, имеющими «дырки» и т.д.
Здесь многое зависит от субъекта обучения. Кубики, шарики, пирамиды − весьма распространённые детские игрушки. Ещё задолго до школы большинство детей получает представление об их форме и свойствах. Тогда как плоские фигуры, линии и даже точки требуют абстрагирования. Напротив, лишённый природного зрения и игрового опыта робот гораздо быстрее разберётся с конструкциями меньшей размерности.
Смоделируем процесс познания форм простейших плоских многоугольников. Прежде всего, напрашивается их классификация по числу сторон. Здесь возможны два подхода. Можно говорить о едином признаке, значением которого является целое число n≥3. Это позволяет использовать в матрице для этого признака только один столбец, указывая в нём значение n. Но тогда матрица не будет булевской, что резко ограничит возможности её последующего использования. Поэтому удобнее говорить о связанных с этим признаком различных свойствах: n=3, n=4 и т.д., выделяя каждое в отдельный столбец. Хотя таких столбцов могло бы оказаться сколь угодно много, на практике (тем более, в самом начале обучения) количество пройденных вариантов не слишком велико.
Следующий признак возникает из сравнения длин сторон. В случае треугольника он приводит к трём разным свойствам: либо все стороны равны (равносторонний треугольник), либо равны между собой только две из трёх сторон (равнобедренный треугольник), либо среди сторон нет равных (разносторонний треугольник). Так как предстоит аналогичный анализ для большего числа сторон, то на этом шаге лучше ограничиться выделением единственного свойства − равенства всех сторон.
Аналогично обстоит дело с углами. Их точное измерение едва ли уместно на самых первых уроках. Поэтому пока выделяем только случай равенства всех углов.
Остановимся на фиксации четырёх названных свойств: a) n=3 , b) n=4, c) все стороны равны, d) все углы равны. Возникает тема для учебного исследования: найти все приемлемые комбинации этих свойств и подтвердить их подходящими примерами.
Организационно лучше всего сначала выдать это в качестве домашнего задания, а потом разобрать в классе, собрав воедино все примеры и выводы. Сравнительно легко построить примеры, реализующие следующие комбинации свойств (1 − наличие, 0 − отсутствие; номера случаев от 0 до 15 дают нужные наборы цифр в двоичной записи):
номер   0 1 2 3 4 5 6 7 8 11
a       0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
b       0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
c       0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
d       0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

В качестве подтверждения для первых четырёх столбцов годятся пятиугольники (общего вида, равноугольный, равносторонний и правильный), для следующих четырёх столбцов годятся четырёхугольники (общего вида, прямоугольник, ромб и квадрат), а для последних двух столбцов годятся треугольники (общего вида и правильный).
Оставшиеся 6 случаев невозможны. Так как невозможность чего-либо в принципе не может быть подтверждена примером, требуется чисто логическое доказательство. Для 4 из 6 случаев (с 12 по 15) оно банально: свойства a) n=3 и b) n=4 несовместны. Но в двух оставшихся (9 и 10) приходится вникать в геометрию: из равенства сторон треугольника следует равенство его углов, и наоборот.
Обозначим штрихами отсутствие (отрицание) соответствующих свойств. Тогда связь между свойствами можно выразить следующими импликациями: a→b′ , b→a′ , a∧c →d , a∧d →c и др.
Подчеркнём, что в терминах свойств a, b, c, d (и их отрицаний) получена полная классификация всех плоских многоугольников. Действительно, для любого плоского многоугольника можно проверить наличие или отсутствие каждого из этих свойств. Записав результаты этих проверок как 0 или 1, мы найдём двоичный номер класса, к которому относится проверенный многоугольник.
Так как множество рассматриваемых свойств будет меняться, вместо номеров удобнее использовать обозначение Ф, в скобках после которого перечисляются нужные свойства. Например, Ф(а) − все треугольники, Ф(b) − все четырёхугольники, Ф(а∧b) − пустое множество, Ф(а∧с)=Ф(а∧d) − все равносторонние треугольники, Ф(b∧с) − все ромбы, Ф(b∧d) − все прямоугольники, Ф(b∧с∧d) − все квадраты и т.д. При необходимости в скобках можно указать отсутствие (отрицание) каких-либо свойств.
Если построенная классификация кажется недостаточной, то она детализируется добавлением новых свойств. Например, напрашивается добавление свойства е − наличия прямого угла. Несложно проверить, что его комбинирование с предыдущими свойствами создаст новые запреты и импликации. Прежде всего, это касается сочетания с и е: в равностороннем треугольнике прямого угла нет, равносторонний четырёхугольник, имеющий прямой угол, обязательно окажется квадратом, а при n≥5 cвойства с и е независимы.
Добавление новых свойств не должно быть случайным и бессистемным. Прежде чем ввести новое свойство, нужно выделить цель, ради чего это делается. Лучше всего, когда эта цель формулируется в терминах необходимости различать фигуры, на данном этапе построения классификации оказавшиеся в одном классе.
Поэтому наряду с комбинациями свойств следует рассмотреть множества, элементами которых являются фигуры. В одних случаях нужно постараться найти и сформулировать общие свойства всех фигур выбранного множества. В других нужно будет разбить множество на несколько частей и подобрать признак, отвечающий этому разбиению.
Работа Галуа была адресована математикам высшей квалификации, что (с учётом ранней гибели самого Галуа) помешало её широкому распространению. Однако круг понятий, связанных с двойственностью Галуа, не только вполне доступен гуманитариям, а заслуживает включения в качестве обязательного пункта программ подготовки специалистов в естественных или гуманитарных науках. Дело в том, что любая «правильная» классификация должна базироваться на замкнутых (в смысле Галуа) множествах объектов и двойственных им множествах свойств (признаков) этих объектов.
Например, каждому биологическому виду (равно как и любой другой единице классификации), с одной стороны, должно соответствовать [23] замкнутое в смысле Галуа множество организмов, а с другой − двойственное ему множество их свойств (характеристических признаков; оно тоже замкнуто).
Разберём конкретную ситуацию. Допустим, у фермера есть лошади и коровы. Как их различить? Конечно, сам фермер умеет это делать чисто визуально. Но он не сможет ни с кем поделиться навыком с интуитивно-подсознательного уровня. Значит, задача состоит в том, чтобы сформулировать формальные правила, пользуясь которыми то же самое смог бы сделать человек, абсолютно несведущий в животноводстве. На первый взгляд, потребность в правилах выглядит надуманной. Но без правил невозможно запрограммировать искусственный интеллект робота-погонщика, одной из обязанностей которого станет разделение общего стада по «своим» стойлам.
Легко понять, что цвет здесь не имеет отношения к делу. Как лошади, так и коровы могут быть белыми, чёрными, рыжими, пятнистыми и пр. Значит, нужно искать иное свойство. Учёные биологи нашли подходящий критерий: количество пальцев (копыт). У лошадей только одно копыто, а у коров – два. Так как числа 1 и 2 имеют разную чётность, то лошадей отнесли к отряду непарнокопытных, а коров – к отряду парнокопытных.
Итак, нашёлся признак, успешно отделяющий лошадей от коров. Правда, если применить его к обезьянам (у которых 5 пальцев), то их пришлось бы зачислить в один отряд с лошадьми. Чтобы такого не случилось, вместо одного свойства нужно рассматривать некоторую их последовательность или совокупность.
Другой пример – работа натуралиста в экспедиции. Обнаружив новое для себя растение, он пытается найти его место в каталоге. С этой целью он сверяет признаки найденного растения с представленными в каталоге. Здесь возможны три принципиально различных случая.
Первый, когда найденное растение уже присутствует в каталоге. Учёный находит его и устраняет пробел лишь в собственных знаниях.
Во втором случае наступает момент, когда очередной проверяемый признак может принимать разные значения. При этом несколько из них зафиксированы в каталоге, но все они существенно отличаются от значения этого же признака у найденного растения. Прежде всего, учёный должен убедиться в неслучайности отличия (например, цвет мог резко измениться из-за наличия в почве аномального количества какого-либо металла и т.п.). За этим исключением, скорее всего, речь пойдёт об открытии нового вида.
Интереснее всего третий случай. Он отличается от первого лишь тем, что, найдя нужное место в каталоге, учёный не соглашается с рекомендованным выводом. Тогда учёный сам должен будет сформулировать недостающий в каталоге признак: чем именно найденное растение отличается от представленного в каталоге, с которым оно совпало по всей цепочке признаков.
Рассмотрим теперь множество животных (растений или иных объектов), для которых мы хотим построить «хорошую» классификацию. Выделив какое-либо их подмножество, мы можем составить список всех их общих свойств.
Затем мы можем найти новое множество, содержащее все объекты с выписанными свойствами. Так как все прежние объекты обладали нужными свойствами, то они обязательно войдут в новое множество. Однако, к нему могут добавиться и какие-то другие объекты. Если это случится, то считаем прежнее множество незамкнутым, а новое множество назовём его замыканием. А если ничего не добавилось (т.е. новое множество совпадает с прежним), то считаем прежнее множество замкнутым (так как его замыкание совпадает с ним самим).
Аналогичным образом можно поступить и с множествами свойств. «Чудо» состоит в том, что верна теорема Галуа: двойственное к любому множеству заведомо является замкнутым. Поэтому нет никакого смысла применять переход к двойственному множеству более двух раз подряд, а операцию замыкания – более одного раза.
Некоторые из свойств, характеризующих тот или иной биологический вид, выражаются числовыми значениями. Например, у «идеальной девушки» три параметра должны принять значения (90;60;90). Их можно считать координатами точки в трёхмерном пространстве. В отличие от идеальной, у другой девушки те же три параметра примут какие-то другие значения, определяющие другую точку в том же пространстве. Множеству всех девушек соответствует какое-то конечное множество точек в трёхмерном арифметическом (координатном) пространстве.
Аналогично, можно рассматривать многомерное пространство параметров, отвечающее какому угодно виду. Скорее всего, разным организмам в нём соответствуют разные точки. Множество всех таких точек конечно (дискретно). Но так как свойства точек в координатном пространстве обычно задаются системой неравенств, то его замыкание Галуа будет представлять собой телесную область, точкам которой могут соответствовать виртуальные организмы («приемлемые» наборы параметров, не нашедшие реализации).
Увы, математику невозможно излагать совсем без формул. Перейдём теперь от примеров к формальному изложению оригинальной конструкции Галуа в терминах теории множеств Кантора, появившейся значительно позднее.
Пусть U – некий универсум объектов (элементов), а V – (двойственный ему) универсум признаков (свойств) этих объектов. Отношение двойственности между U и V устанавливает булева функция В(u,v), принимающая значение «ИСТИНА», если элемент uϵU обладает свойством vϵV, и значение «ЛОЖЬ» в противном случае. Для любого элемента uϵU обозначим через Г(u) множество всех свойств этого элемента: Г(u) ={vϵV : В(u,v)=«ИСТИНА»}. Для любого множества XϵU определим двойственное ему множество Г(Х)=∩{Г(х) : хϵХ}. Оно состоит из всех общих свойств всех элементов из множества Х. Легко заметить, что с чисто формальной точки зрения ситуация абсолютно симметрична. Поэтому для любого свойства vϵV можно ввести множество Г(v) = {uϵU : В(u,v)=«ИСТИНА»} всех объектов, обладающих свойством v. А для любого множества YϵV можно ввести двойственное ему множество Г(Y)=∩{Г(y) : yϵY} всех объек- тов, обладающих всеми свойствами из Y. Повторять это замечание мы больше не будем, но считаем по умолчанию, что все сделанные ниже утверждения об элементах зеркально дублируются для свойств (и наоборот).
Рассмотрим теперь Г(Г(Х)). Так как Г(Х) – множество всех общих свойств всех элементов из Х, то любой элемент хϵХ обладает всеми свойствами из Г(Х). Поэтому XϵГ(Г(Х)). Легко понять, что равенства здесь может не быть. Нельзя исключать возможность, что всеми теми же самыми свойствами обладает ещё и какой-либо элемент, не принадлежащий Х.
Уже было сказано, что верна теорема Галуа: Г(Г(Г(Х)))=Г(Х). Этот факт побуждает ввести понятие замыкания Галуа С(Х) = Г(Г(Х)). Если С(Х)=Х, то Х называется замкнутым (по Галуа). Для замкнутых множеств соответствие Галуа Г превращается в «чистую» двойственность: если Y = Г(Х), то Х = Г(Y) (и наоборот). При этом все множества вида Г(Х) или Г(Y) заведомо замкнуты. Многочисленные реализации описанной конструкции присутствуют в математических дисциплинах [1]. А корректное изложение естественных и гуманитарных наук требует, чтобы всем их понятиям соответствовали замкнутые множества как объектов, так и признаков [22, 23].

Литература
1. Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. Тесты и экзаменационные задания по математике. – Изд-во «Питер», СПб, 2005. 
2. Воронцов К. В., “Комбинаторный подход к оценке качества обучаемых алгоритмов”, Математические вопросы кибернетики, 13, ред. О. Б. Лупанов, Физматлит, М., 2004, 5–36
3. Воронцов К. В. Аддитивная регуляризация тематических моделей последовательного текста // Математические методы распознавания образов: 18-ая Всеросс. конф.: Докл. М.: Торус, 2017.
4. Замяткин Н.Ф. Тай-чи языка, или Вас невозможно научить иностранному языку. - http://e-libra.su/read/233337
5. Матвеев Н.М., Рукшин С.Е., Федотов В.П.. Ленинградские математические олимпиады школьников. - Математика в школе - 1981 - №6. 
6. Николенко С.И. Глубокое обучение. Погружение в мир нейронных сетей. - ИД «Питер», СПб, 2017.
7. Пересветов-Мурат А.И. Урбан Йерне как ингерманландец и ниенец. Коменданты. Биографические очерки. - Конф. "400 лет Ниеншанцу и 370 лет Урбану Йерне", СПб, 2011.
8. Федотов В.П.. О третьих турах школьных олимпиад в Ленинграде. – В сб. «Всесоюзная Конференция посвященная Внеклассной Работе по Математике», ЛГУ, Л., 1975. 
9. Федотов В.П.. О принципах определения целей обучения различным предметам школьного образования. – Теория и практика создания школьных учебников. М., 1988. 
10. Федотов В.П.. О системе основных понятий информатики. – В сб. трудов межвузовской научно-методической конференции ИвГУ, Иваново, 1989. 
11. Федотов В.П.. О видах деятельности, обозначаемых глаголом “доказать”. – Деятельностный подход в обучении и формирование творческой личности. Уфа, 1990. 
12. Федотов В.П. О математике в образовании гуманитариев. – В сб. трудов межвузовской научно-методической конференции СПбГУП. СПб, 1998. 
13. Федотов В.П. Матричный метод изучения иностранных языков. - Компьютерные инструменты в образовании. – СПб.: Изд-во ЦПО ”Информатизация образования”, 1999, №6, С.33-37.
14. Федотов В.П. Международный заочный математический кружок. – Компьютерные учебные программы. М., 1999, №3 (18). 
15. Федотов В.П. Царскому Селу – информационный лицей. – Компьютерные учебные программы. М., 1999, №2 (17). 
16. Федотов В.П. Международная интернет-гимназия. – В сб. «Интернет-Общество-Личность (Международная конференция ИОО)», СПб, 1999. 
17. Федотов В.П. Реализация авторской общеобразовательной концепции на основе использования ресурсов сети Интернет в дистанционном обучении. – В сб. «Дистанционный учитель года – 2000», М., 2000. 
18. Федотов В.П.. Матричный метод преподавания иностранных языков. – В сб. «Раннее обучение иностранным языкам», РГПУ им. Герцена, СПб, 2004. 
19. Федотов В.П. Матричный метод преподавания иностранных языков. - Formulo de Integreco. Сборник материалов международного летнего лагеря 2013 г. Санкт-Петербург, 2013. С. 156-160.
20. Федотов В.П. Варьирование словарей в тематическом моделировании // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XXX междунар. науч.-практ. конф. № 5(29). – Новосибирск: СибАК, 2015.
21. Федотов В.П. Учить всех как одарённых // Вопросы дополнительного образования одарённых школьников в области точных и естественных наук / Киров, 2016. - с. 42-44. - ISBN 978-5-498-00405-1
22. Федотов В.П. Двойственность в теории выпуклых тел как частный случай двойственности Галуа // Современное научное знание: теория, методология, практика. Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции (19 января 2017 г.) // Смоленск: ООО "Новаленсо", 2017. - с. 183-186.
23. Федотов В.П. Анализ обоснований дарвинизма и креационизма // Инновационные внедрения в области естественных и математических наук. / Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. № 2 . - М., 2017. - с. 19-20.










Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments