Этот текст представляет собой весьма тенденциозную подборку малоизвестных фактов из истории математики. Коллекция была собрана в качестве иллюстраций для лекционных курсов «Теория искусственного интеллекта» и «Математическая логика и теория алгоритмов», которые автор читал в университете ИТМО в 2006-17гг. Даже в качестве «давно забытого старого» автор не претендует на исторические открытия, но берёт на себя всю полноту ответственности за интерпретации.
Согласно принятой большинством историков хронологии, ещё 6 тысяч лет назад геометрией занимались профессиональные учёные. В частности, древнеегипетские жрецы безошибочно рассчитывали даты будущих солнечных и лунных затмений. Сегодня уровень сложности этой задачи соответствует 2 курсу университетов, а для её решения используются компьютеры.
Более половины своей истории геометрия обходилась вообще без доказательств. «Измерение земли» оставалось такой же эмпирической естественной наукой, как и весьма близкие география или астрономия.
Причину такого положения нужно искать не внутри самой науки, а в устройстве тогдашнего общества, наглядным символом которого стали древнеегипетские пирамиды. Его кастовость и жёсткая иерархия полностью исключали потребность в разумной аргументации.
Совершенно иная культурная среда сложилась в греческих полисах. Рабовладение прекрасно сочеталось в них с демократией для свободных граждан. Формально равные по статусу вынуждены были убеждать собеседников в своей правоте. Именно потребность в умении доказывать привела к появлению риторики и философии. Тогда же появились и первые геометрические доказательства, автором которых историки считают Фалеса [16].
Как и по-русски, в большинстве языков глагол «доказать» имеет несколько совершенно разных смыслов, что часто становится причиной их путаницы [14]. Первоначально истина рождалась в споре. Доказывание происходило в диалоге, формат которого складывался постепенно по мере накопления опыта убедительных рассуждений. Если оппонент соглашался с высказанным тезисом, то докладчик сразу переходил к следующему. Но возражения требовали детализации аргументов и их обосновывания.
Профессиональные ораторы и учителя риторики сформировали те фигуры речи, которые стали общеизвестными теперь законами логики. Пройдут века, прежде чем Аристотель [11] запишет эти законы в текстовом формате, а много позже Буль [3] в виде формул.
Это трансформировало реальный процесс убеждения в диалоге в виртуальный. Опережая возражения и вопросы, докладчик сам формулировал возможные контраргументы и вместо оппонента отвечал самому себе. Доказательство превратилось в структурированный текст, итоговый вывод которого получался из «очевидных» утверждений применением к ним логических операций. Оппонент стал лишним!
Следующая трансформация произошла в учебных заведениях. Вместо убеждения целью доказательств стало обучение искусству рассуждать. А диалог равных превратился в диалог учителя и ученика. Лишь очень немногие учителя допускали перемену ролей в диалоге.
Наконец, появились изданные массовыми тиражами учебники. В них структурированный текст исходных доказательств превратился в линейный текст, который ученику надлежало заучить и художественно продекламировать, даже не вникая в суть. От первоначальных смысла глагола «доказать» и цели убедить оппонента не осталось ничего.
Но вернёмся к античной геометрии. Радикальный переворот в ней совершил Гиппас Метапонтский (ученик Пифагора, которого по-русски часто называют Ипатием). Его теорему можно найти мелким шрифтом в некоторых школьных учебниках алгебры. На современном языке она утверждает иррациональность квадратного корня из двух [9].
Но у греков не было ни алгебры, ни хорошо известных нынешним школьникам буквенных обозначений переменных, авторство которых принадлежит Декарту. Вместо чисел греки пользовались отношениями геометрических величин. Поэтому у самого Ипатия речь шла о том, что сторону квадрата невозможно разбить на такое целое число равных отрезков, чтобы другое целое число тех же равных отрезков в точности укладывалось на диагонали этого же квадрата.
Сравните последнюю формулировку с трактовкой процесса измерения у греков. Из неё следует, что диагональ квадрата невозможно измерить, взяв за единицу измерения сторону этого же квадрата.
Даже сегодня этот вывод воспринимается нелепым. Почему невозможно измерить? Приложили линейку и сняли показания. А две с половиной тысячи лет назад он подрывал священные основы учения Пифагора. Согласно легенде, пифагорейцы утопили Ипатия в море [9], а его имя запретили произносить, как и в случае Герострата.
Тем не менее, теорема Ипатия сохранилась в истории математики. Важнее, что именно с этого момента в геометрии возник приоритет логики над эмпирическими фактами, что отличает математику от всех без исключения естественных наук (не говоря об общественных, для которых «практика — критерий истины»). Ландау остроумно заметил, что с этого момента (две с половиной тысячи лет назад) математика стала сверхъестественной наукой [6].
Греки не догадывались, в какой степени теорема Ипатия вступает в конфликт с эмпирическим знанием. В отличие от греков, современной алгебре известны не только иррациональные числа, а ещё и теорема Гурвица о сверхточных приближениях иррациональных чисел рациональными [8].
Поясню её на примере числа π≈3,14. Это обычное приближение. Если записать его в виде смешанного числа, то знаменателем будет 100. Значит, ошибка округления не превышает 1/100. В отличие от обычного приближения, в случае сверхточных приближений обратная к ошибке округления величина превышает не только знаменатель, а даже его квадрат. Примером может служить округление Архимеда π≈22/7 , ошибка которого не превышает 1/49 (на самом деле гораздо меньше).
С точки зрения практики измерений существование бесконечной последовательности сверхточных приближений означает, что любой отрезок можно измерить вообще без ошибки. Представьте себе, что с точностью до миллиметров мы измеряем отрезок длиной около метра. Ошибку чуть меньше миллиметра при желании можно заметить. Но если взять очередное сверхточное приближение, то его ошибка окажется меньше 1/1000 миллиметра. С практической точки зрения такое измерение считается абсолютно точным.
Но как только практика перестаёт быть критерием истины, так сразу появляется возможность поставить под сомнение любое из «очевидных» утверждений. С другой стороны, в основе любой науки должны лежать какие-то общепризнанные соглашения. Это побудило Евклида (вслед за Евдоксом) формулировать определения, аксиомы и постулаты. В отличие от самого Евклида, его ученики и последователи не до конца осознали их роль, что привело к растянувшимся на две тысячи лет попыткам «очистить Евклида от пятен».
Сначала был доказан четвёртый постулат. Не важно, что его доказательство фактически использовало аксиомы порядка, которых у Евклида не было. Затем принялись за пятый. Не будет преувеличением сказать, что попытки доказать пятый постулат Евклида приняли массовый характер. Достаточно назвать несколько имён великих людей, чьи основные достижения далеки от геометрии: поэт Омар Хайям, врач Авиценна, правитель Самарканда и астроном Улугбек, энциклопедист Насир эд-Дин ат-Туси (ставший прототипом героя восточных притч и анекдотов ходжи Насреддина) и многие другие.
Развязка растянулась на несколько десятилетий XIX века. Сначала яростная борьба за приоритет открытия неевклидовой геометрии. Работа Лобачевского [10] была опубликована раньше Бойяи [2], но попала на запад Европы уже позже. Гаусс уклонился от роли арбитра в их споре, потому что сам пришёл к тем же выводам лет на пятнадцать раньше, в течение которых получил письма не менее трёх разных математиков с их изложением. Более того, к тому моменту Гаусс сам уже опубликовал «Теорию поверхностей» [10]. Плоскость Лобачевского не была в ней выделена явно, но появлялась как частный случай поверхности, заданной при помощи внутренней метрики.
Причиной молчания Гаусса стало понимание им того, что новая геометрия не будет принята сообществом ведущих математиков того времени. В качестве подтверждения правоты Гаусса можно сослаться на резко отрицательный и весьма едкий отзыв Остроградского о работе Лобачевского.
Более глубокая причина — непонимание (не только Гауссом), что именно следовало доказать (или опровергнуть), чтобы снять сомнения в истинности неевклидовой геометрии. Проведённое Лобачевским и Бойяи изложение неевклидовой геометрии примерно в объёме школьных учебников евклидовой геометрии заведомо не служило убедительным для этого аргументом.
Хуже того, под огромным сомнением оказалась даже евклидова геометрия. Тот факт, что на протяжении тысячелетий в ней не нашли никаких противоречий не мог служить гарантией, что противоречия не будут найдены позже. Подобный опыт математики приобрели чуть позже в связи с наивной теорией множеств Кантора [7], обнаружение противоречий и ошибок в построении которой растянулось на четверть века (весьма солидный срок, пусть и не тысячелетия). А если понимать геометрию в её изначальном («физическом») смысле, то глобальные свойства космоса гораздо ближе именно к неевклидовой геометрии.
Вопрос об абсолютной непротиворечивости обеих геометрий (а также остальных разделов классической математики) лишь столетие спустя окончательно сняла теорема Гёделя о неполноте арифметики [12]. А доказать относительную непротиворечивость неевклидовой геометрии удалось только через сорок лет.
Что именно нужно для этого проверить, первым догадался Риман. Он заметил, что если в евклидовом пространстве можно построить поверхность, внутренняя геометрия которой окажется неевклидовой, то противоречие неевклидовой геометрии тем самым сразу же окажется противоречием евклидовой геометрии.
Эту и другие гениальные идеи Риман изложил в своей знаменитой лекции 1853г., вступая в должность экстраординарного профессора Гёттингенского университета [13]. По словам очевидцев, Гаусс ушёл с неё в глубокой задумчивости.
Риман тогда ещё не знал, что нужную поверхность уже детально описал и изучил Миндинг. Получить её можно, вращая известную ещё грекам трактрису вокруг асимптоты. Миндинг назвал её псевдосферой [4], указав тем самым на постоянство кривизны.
Поверхности постоянной кривизны делятся на три типа в зависимости от знака кривизны. Постоянную положительную кривизну имеют сферы разных радиусов, а также неполные поверхности, полученные из какого-то куска сферы изгибанием (возможно, с самоналожением фрагментов этого куска). Нулевую кривизну имеет евклидова плоскость, а также цилиндры, конусы и другие поверхности, полученные изгибанием какого-то её куска.
Плоскость Лобачевского — единственный пример полной поверхности постоянной отрицательной кривизны. В зависимости от конкретного значения кривизны различают плоскости Лобачевского с разными метриками, что аналогично сферам разных радиусов. Чтобы из плоскости Лобачевского получить псевдосферу, нужно подходящий кусок плоскости Лобачевского «смотать в трубочку», аналогичную полуцилиндру.
Почти сразу же после публикации в 1868г. текста лекции Римана нашёлся «умный» математик Бельтрами [10], который положил перед собой работы Римана и Миндинга, после чего написал третью — свою. По факту этой публикации именно Бельтрами считают автором доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии по отношению к евклидовой геометрии. Сравнительно быстро доказали встречную непротиворечивость евклидовой геометрии по отношению к неевклидовой. Ещё чуть позже — непротиворечивость обеих геометрий по отношению к арифметике.
Несколько позже Римана мощный толчок исследованиям в области оснований геометрии дал Паш [1], сформулировавший аксиомы порядка. За исключением одной, они посвящены свойствам порядка на прямой (числовой оси). Это было важно не столько для геометрии, сколько для математического анализа. Но последняя (именно её теперь принято называть аксиомой Паша) относилась к порядку на плоскости.
В краткой форме она утверждает, что если прямая «входит» в треугольник, то она обязана «выйти» из него. Другими словами, если прямая одновременно содержит хотя бы одну точку вне треугольника и хотя бы одну точку внутри него, то на ней обязательно лежат (не одна, а ровно) две точки периметра треугольника. Аксиома Паша «наглядна» и «очевидна» до такой степени, что в ней не нуждался даже Лобачевский.
Поэтому следующее (за Риманом и Пашем) поколение геометров решило окончательно разделаться с наглядностью. Его лидером стал Гильберт, противопоставивший систему аксиом её реализации. Совсем обойтись без реализации нельзя, ибо непротиворечивость системы аксиом проще всего проверить на примере реализации. Но при этом Гильберт чётко отделяет случайные свойства конкретной реализации от обязательных свойств, которые логически можно вывести из аксиом, не прибегая к иллюстрации. Более того, Гильберт намеренно допускает весьма далёкие по семантике реализации одних и тех же аксиоматик. В частности, он предлагал заменить точки и прямые на плоскости на пивные кружки и бочки, соответственно переписав все аксиомы [5].
Важно заметить, что построенная Гильбертом система аксиом использовала язык теории множеств Кантора [7]. Гильберт восторженно принял это нововведение и даже говорил, что «никто не сможет выгнать математиков из рая, который построил Кантор» [9]. Но наивный канторов рай очень быстро обернулся адом неразрешимых парадоксов. Чтобы исправить ошибки Кантора, пришлось отказаться от свободы называть множеством всё, что угодно.
На смену свободе пришли жёсткие запреты. В ранних работах самого Кантора множество определялось как совокупность элементов. Кроме простого перечисления, задать множество можно было при помощи классификатора, указав в нём общие свойства всех его элементов. Решение проблемы парадоксов потребовало изменить первоначальный подход Кантора на диаметрально противоположный. В пришедших на смену «наивной» теории множеств Кантора системах аксиом Цермело-Френкеля [15] и других авторов множеством называется класс, который сам является элементом какого-то большего класса.
Массовое заблуждение состоит в том, будто Кантор строил свою теорию ради изучения конечных множеств. С этим справилась бы комбинаторика. Ни новый язык, ни новые дисциплины не возникают в математике, пока не исчерпаны средства и возможности старых. Первоначально Кантор изучал сходимость тригонометрических рядов. Множества точек сходимости оказались устроенными так сложно, что их не удалось описать в терминах интервалов и отдельных точек.
Традиционно прямая, плоскость и пространство в геометрии трактовались не как множества, состоящие из точек, а протяженности, в которых можно отмечать (выделять, фиксировать) точки. Эта разница превращается в острое противопоставление, если сравнить две даты. В 1868 году опубликован текст названной выше лекции Риман, в которой он говорил о многомерных пространствах (в том числе, искривлённых), трактуя их исключительно как протяженности. А первые публикации Кантора о множествах датированы двумя годами позже.
Вопрос о том, какими множествами точек (в частности, какой мощности) являются прямая, плоскость или пространство не относится к традиционной геометрии. До Кантора этот вопрос не представлял интереса. Но если бы его задали (и объяснили) древним грекам, то их ответ оказался бы противоположным современному.
Современная трактовка подразумевает, что значения координат в модели Декарта могут быть любыми вещественными числами. И дело даже не в том, что греки их не знали. Античная геометрия допускала построения только циркулем и линейкой. А с их помощью, стартуя от единичного отрезка можно построить только отрезки, длины которых выражаются квадратичными иррациональностями. Заметим, что поле вещественных чисел имеет мощность континуума, а поле квадратичных иррациональностей счётно.
Не только греки, но даже Гильберт в первом издании «Оснований геометрии» (1899г.) оставил вариативность в ответах на подобные теоретико-множественные вопросы. Это послужило одним из пунктов критики со стороны соперничавшего с ним за лидерство в мировой математике Пуанкаре. Учитывая интерес математического анализа, Гильберт согласился с Пуанкаре в этом пункте. Начиная со второго издания «Оснований геометрии» (1903г.) в них включена аксиома полноты, следствием которой является изоморфность числовой оси в математическом анализе и прямой в геометрии [5].
Список литературы:
1. Pasch M., Vorlesungen über neuere Geometrie, Lpz., 1882.
2. Больаи Я. Appendix. Приложение, содержащее науку о пространстве абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида / Перевод с латинского, вступительные статьи и примечания В. Ф. Кагана. М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — 243 с.
3. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969. — 320 с.
4. Галченкова Р. И., Лумисте Ю. Г., Ожигова Е. П. и др. Фердинанд Миндинг. — М.-Л.: Наука, 1970. — 225 с. — (Научно-биографическая серия)
5. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.
6. Какзанова е. М. Е.Д. Поливанов и математика: Прикладные VS Фундаментальные науки. — Вестник РУДН, т. 8, №1, 2017, с. 9-16.
7. Кантор Г. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с.
8. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961
9. Клайн М. Математика: Утрата определенности. — М.: "Мир", 1984.
10. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956, С.119—120.
11. Орлов Е. В. Аристотель о началах человеческого разумения / отв. ред. В. П. Горан; Рос. Акад. наук, Сиб. отд-ние, Ин-т философии и права. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2013. — 303 с. ISBN 978-5-7692-1336-6.
12. Пиньейро Г. Э. У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — Вып. 17. — ISSN 2409-0069
13. Риман Б. Сочинения. М.-Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1948.
14. Федотов В.П. О видах деятельности, обозначаемых глаголом “доказать”. – В сб. «Деятельностный подход в обучении и формирование творческой личности». Уфа, 1990.
15. Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.
16. Шишкоедов П. Философия античности. — Litres. — 537 с. — ISBN 9785457887671.
Journal information