October 1st, 2013

Задачи 1 тура для 5 класса

1. Назовём год лихим, если в записи его номера есть одинаковые цифры. Например, все годы с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры?
2. На круглом торте стоит 6 свечей. Тремя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько свечей могло стоять в каждой из частей, которые образовались после первого разреза? Объясните, почему никакие другие варианты невозможны.
3. Даны три нечётных положительных числа p, q, r. Про них известно, что p>2q, q>2r, r>p-2q. Докажите, что p+q+r≥25.
4. У Кости есть шесть кубиков, каждая грань каждого кубика раскрашена в один из шести цветов. Все кубики раскрашены одинаково. Костя составил из кубиков столбик и смотрит на него с четырёх сторон. Может ли он сделать это таким образом, чтобы с каждой стороны все шесть граней были разного цвета?
5. В одном доме провели перепись населения. Выяснилось, что в каждой квартире живет супружеская семья (мать и отец) и в каждой семье есть хотя бы один ребенок. У каждого мальчика в доме есть сестра, но всего мальчиков больше, чем девочек. Детей же в доме меньше, чем взрослых. Докажите, что в результаты переписи вкралась ошибка.
6. Фокусник хочет сложить колоду из 36 карт так, чтобы у любых двух подряд идущих карт совпадало либо достоинство, либо масть. При этом начать он хочет с пиковой дамы, а закончить бубновым тузом. Как это сделать?
promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…

Задачи 1 тура для 6 класса

1. Назовём год лихим, если в записи его номера есть одинаковые цифры. Например, все годы с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры?
2. На круглом торте стоит 7 свечей. Тремя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько частей было после второго разреза и сколько свечей стояло в каждой из них?
3. Даны три нечётных положительных числа p, q, r. Про них известно, что p>2q, q>2r, r>p-2q. Докажите, что p+q+r≥25.
4. У Кости есть шесть кубиков, каждая грань каждого кубика раскрашена в один из шести цветов. Все кубики раскрашены одинаково. Костя составил из кубиков столбик и смотрит на него с четырёх сторон. Может ли он сделать это таким образом, чтобы с каждой стороны все шесть граней были разного цвета?
5. В одном доме провели перепись населения. Выяснилось, что в каждой квартире живет супружеская семья (мать и отец) и в каждой семье есть хотя бы один ребенок. У каждого мальчика в доме есть сестра, но всего мальчиков больше, чем девочек. Детей же в доме меньше, чем взрослых. Докажите, что в результаты переписи вкралась ошибка.
6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены - разные. Смогут ли Том и Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?

Задачи 1 тура для 7 класса

1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны числа от 1 до 9. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открывают. Если на одной из карточек Марка хотя бы два из четырёх отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть?
2. На круглом торте стоит 10 свечей. Четырьмя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько свечей могло стоять в каждой из частей, которые образовались после первого разреза? Объясните, почему никакие другие варианты невозможны.
3. У фокусника есть два комплекта по 7 карточек. На розовых карточках записаны целые числа от 0 до 6. На первой голубой карточке написано 1, а число на каждой следующей голубой карточке в 7 раз больше предыдущего. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с голубой). Затем зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех 7 произведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно получиться простое число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого объединить в пары (или докажите, что у него ничего не получится).
4. У Кости есть шесть кубиков, каждая грань каждого кубика раскрашена в один из шести цветов. Все кубики раскрашены одинаково. Костя составил из кубиков столбик и смотрит на него с четырёх сторон. Может ли он сделать это таким образом, чтобы с каждой стороны все шесть граней были разного цвета?
5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 77. Какова минимально возможная сумма модулей разностей между соседними числами?
6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены - разные. Смогут ли Том и Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?

Задачи 1 тура для 8 класса

1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны числа от 1 до 12. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открывают. Если на одной из карточек Марка хотя бы два из четырёх отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть?
2. Дан прямоугольник ABCD. На луче DC отложен отрезок DK, равный BD. Точка М - середина отрезка BK. Докажите, что AM - биссектриса угла BAC.
3. У фокусника есть два комплекта по 8 карточек. На розовых карточках записаны целые числа от 0 до 7. На первой голубой карточке написано 1, а число на каждой следующей голубой карточке в 8 разбольше предыдущего. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с голубой). Затем зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех 8 произведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно получиться простое число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого объединить в пары (или докажите, что у него ничего не получится).
4. На плоскости нарисовали 5 красных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все середины отрезков между ними отметили синим цветом. Расположите красные точки так, чтобы синих точек было минимально возможное количество. (Точка может оказаться красной и синей одновременно.)
5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 88. Какова минимально возможная сумма модулей разностей между соседними числами?
6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены - разные. Смогут ли Том и Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?

Задачи 1 тура для 9 класса

1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны числа от 1 до 33. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 10 чисел. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открывают. Если на одной из карточек Марка хотя бы три из десяти отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть?
2. Дан прямоугольник ABCD. На луче DC отложен отрезок DK, равный BD. Точка М - середина отрезка BK. Докажите, что AM - биссектриса угла BAC.
3. Назовём основание системы счисления комфортным, если существует простое число, запись которого в этой системе счисления ровно по одному разу содержит каждую из её цифр. Например, 3 – комфортное основание, так как троичное число 102 – простое. Найдите все комфортные основания, не превосходящие 10.
4. На плоскости нарисовали 5 красных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все середины отрезков между ними отметили синим цветом. Расположите красные точки так, чтобы синих точек было минимально возможное количество. (Точка может оказаться красной и синей одновременно.)
5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 99. Какова минимально возможная сумма модулей разностей между соседними числами?
6. Решите систему уравнений:
x+y+xy=11
x2y+xy2=30

Задачи 1 тура для 10 класса

1. Назовём год лихим, если в записи его номера есть одинаковые цифры. Например, все годы с 1988 по 2012 были лихими. Докажите, что в каждом столетии, начиная с двадцать первого, хотя бы 44 лихих года.
2. Азимутом называется угол от 0 до 360°, отсчитанный по часовой стрелке от направления на север до направления на нужный ориентир. Алекс видит телебашню под азимутом 60°, водонапорную башню под азимутом 90°, а колокольню под азимутом 120°. Для Бориса те же азимуты соответственно равны 270°, 240° и Х. Какие значения может принимать Х?
3. Назовём основание системы счисления комфортным, если существует простое число, запись которого в этой системе счисления ровно по одному разу содержит каждую из её цифр. Например, 3 – комфортное основание, так как троичное число 102 – простое. Найдите все комфортные основания, не превосходящие 12.
4. У Кости есть n одинаковых кубиков. У каждого кубика на двух противоположных гранях написаны числа 5 и 6, а на остальных - 1, 2, 3 и 4 (именно в этом порядке по кругу). Костя склеил из кубиков столбик параллелепипед 1х1хn и покрыл лаком все шесть граней этого столбика. После этого он расклеил кубики и обнаружил, что сумма чисел на покрытых лаком гранях меньше, чем на остальных. При каком наименьшем n такое могло произойти?
5. СН - высота в треугольнике АВС, а О - центр его описанной окружности. Из точки С опустили перпендикуляр на АО, а его основание обозначили через Т. Наконец, через М обозначили точку пересечения НТ и ВС. Найдите отношение длин отрезков ВМ и СМ.
6. Решите систему уравнений:
x+y+xy=11
x2y+xy2=30

Задачи 1 тура для 11-12 классов

1. Назовём год лихим, если в записи его номера есть одинаковые цифры. Например, все годы с 1988 по 2012 были лихими. Докажите, что в каждом столетии, начиная с двадцать первого, хотя бы 44 лихих года.
2. Для исследования подводного мира соорудили прямолинейную штангу, уходящую под углом 45° к поверхности воды на глубину 100 метров. Водолаз связан со штангой гибким тросом, позволяющим ему удаляться от любой точки штанги на расстояние не более 10 метров. Считая размеры водолаза нулевыми (точечными), найдите объём доступной ему части подводного пространства. Дайте точный ответ и округлите его до ближайшего целого значения в кубических метрах.
3. Назовём основание системы счисления комфортным, если существует простое число, запись которого в этой системе счисления ровно по одному разу содержит каждую из её цифр. Например, 3 – комфортное основание, так как троичное число 102 – простое. Найдите все комфортные основания.
4. У Кости есть n одинаковых кубиков. У каждого кубика на двух противоположных гранях написаны числа 5 и 6, а на остальных - 1, 2, 3 и 4 (именно в этом порядке по кругу). Костя склеил из кубиков столбик параллелепипед 1х1хn и покрыл лаком все шесть граней этого столбика. После этого он расклеил кубики и обнаружил, что сумма чисел на покрытых лаком гранях меньше, чем на остальных. При каком наименьшем n такое могло произойти?
5. СН - высота в треугольнике АВС, а О - центр его описанной окружности. Из точки С опустили перпендикуляр на АО, а его основание обозначили через Т. Наконец, через М обозначили точку пересечения НТ и ВС. Найдите отношение длин отрезков ВМ и СМ.
6. Пусть p1,..., pn - различные простые числа. Пусть S - сумма всевозможных произведений четного количества различных простых из этого набора. Докажите, что S+1 делится на 2n-2.

Основные ссылки об объединённой олимпиаде «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»

Электронный адрес оргкомитета олимпиады: fdi@imi.ras.ru
Объявление об олимпиаде (в формате html) - http://formulo.org/ru/anons-13
Объявление об олимпиаде (в формате pdf, 257,8 KБ) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/Ol2013_1.pdf
Задачи 1 тура (в формате pdf, 142,9 KБ) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/1_tour_problems_rus.pdf
Информация для участников первого тура (в формате pdf, 246,2 KБ) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/info-particip.pdf
Информация для педагогов, проводящих олимпиаду - http://formulo.org/ru/informaciya-dlya-pedagogov-provodyashih-olimpiadu
________________________________________
Задачи 1 тура по классам:
5 – http://matholimp.livejournal.com/1281415.html
6 – http://matholimp.livejournal.com/1281627.html
7 – http://matholimp.livejournal.com/1281805.html
8 – http://matholimp.livejournal.com/1282106.html
9 – http://matholimp.livejournal.com/1282530.html
10 – http://matholimp.livejournal.com/1282710.html
11-12 – http://matholimp.livejournal.com/1283052.html
________________________________________

На других языках - http://formulo.org/en/olympiad :
Announcement of the Olympiad (in English) - http://formulo.org/en/ol14announcement
Anuncio sobre la realización de la olimpiada FORMULO DE INTEGRECO (in Spanish) - http://formulo.org/en/olimpiada-formula-de-la-unidad-14
Problems of the first round (English; в формате pdf, 45.3 KB) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/1_tour_problems_2.pdf
Problems of the first round (Spanish; в формате pdf, 66.7 KB) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/FdI_Spanish.pdf
Information for participants (English; в формате pdf, 132.7 KB) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/info-particip-eng.pdf
(Spanish translation will appear today later.)
Table of matching grades (в формате pdf, 149.0 KB) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/Grade%20correspondence_1.pdf

________________________________________
Исторические материалы:
• Олимпиада "Формула Единства" 2012/13 г. - http://www.euler-foundation.org/?page_id=500
• Задачи 13-й олимпиады "Третье тысячелетие" (в формате pdf, 50,7 KБ) - http://formulo.org/media/cms_page_media/27/oltt_2.pdf

Список регионов и городов, где уже есть местные оргкомитеты нашей олимпиады

В этом списке будут появляться дополнения и уточнения. Поэтому просим кураторов после сбора работ ещё раз проверить информацию на сайте олимпиады по ссылкам:
Адреса местных оргкомитетов (для передачи работ педагогами; 204,9 KБ) - http://formulo.org/media/cms_page_media/32/local%20addresses.pdf
Почтовые адреса (для пересылки работ педагогами и участниками; 204,8 KБ) - http://formulo.org/media/cms_page_media/32/postal%20local%20addresses.pdf

На данный момент подтвердили своё участие следующие регионы и города:

Алтайский край
Архангельская обл.
Республика Башкортостан
Витебская обл.
Ивановская обл.
Иркутская обл.
Краснодарский край
Курская обл.
Курганская обл.
Магаданская обл.
Новосибирская обл.
Республика Удмуртия

Елабуга
Запорожье
Зеленоград
Магнитогорск
Петрозаводск
Протвино и Серпухов

Учителям, желающим провести олимпиаду для своих учеников, но не проверять их работы

Оргкомитет олимпиады «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» благодарит за сотрудничество всех педагогов и организаторов, помогающих нам провести олимпиаду. Мы предлагаем следующий порядок проведения первого тура олимпиады. При возникновении любых вопросов пишите нам по адресу fdi@imi.ras.ru.
Просим Вас, прежде всего, ознакомиться со списком регионов и городов, где уже сформированы местные (региональные и городские) оргкомитеты олимпиады - см. http://matholimp.livejournal.com/1283393.html .

Оргкомитет олимпиады «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/14 г. просит Вас распечатать и распространить условия задач первого тура олимпиады среди учащихся Вашей школы. К участию приглашаются школьники 5–11 класса. Разрешается участие за более старшие классы (в частности, ученики 1–4 классов могут участвовать за 5 класс).
Сроки первого тура — 1–21 октября 2013 г. Не позднее 21 октября участники должны либо сдать Вам работы, оформленные в соответствии с правилами оформления работ в бумажном виде, либо самостоятельно выслать их в электронном виде на адрес жюри fdi-tmj@formulo.org .
Если в Вашем регионе (городе) есть местный (региональный или городской) оргкомитет олимпиады, то полученные от участников работы просим либо передать непосредственно в местный оргкомитет не позднее 25 октября (это предпочтительный вариант, если такая возможность есть), либо выслать на почтовый адрес местного оргкомитета не позднее 23 октября.
Если в Вашем регионе (городе) нет местного оргкомитета олимпиады, то полученные от участников работы просим отсканировать(предпочтительно в формат pdf) и выслать не позднее 23 октября на адрес жюри fdi-tmj@formulo.org (это предпочтительный вариант, если такая возможность есть). Каждая работа должна быть отсканирована в отдельный файл. Работы за разные классы должны быть высланы в разных сообщениях.
Если возможности сканирования нет, просим не позднее 23 октября выслать работы по почте в жюри по адресу: 198504,Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет СПбГУ, «Формула Единства».

Учителям, желающим провести олимпиаду для своих учеников и проверить их работы

Оргкомитет олимпиады «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» благодарит за сотрудничество всех педагогов и организаторов, помогающих нам провести олимпиаду. Мы предлагаем следующий порядок проведения первого тура олимпиады. При возникновении любых вопросов пишите нам по адресу fdi@imi.ras.ru.
Просим Вас, прежде всего, ознакомиться со списком регионов и городов, где сформированы местные(региональные и городские) оргкомитеты олимпиады - см. http://matholimp.livejournal.com/1283393.html .

Оргкомитет олимпиады «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/14 г. просит Вас распечатать и распространить условия задач первого (отборочного) тура олимпиады среди учащихся Вашей школы. К участию приглашаются школьники 5–11 классов. Разрешается участие за более старшие классы (в частности, ученики 1–4 классов могут участвовать за 5 класс).
Сроки первого тура — 1–21 октября 2013 г. Не позднее 21 октября участники должны сдать Вам работы, оформленные в соответствии с правилами оформления работ в бумажном виде.
Просим Вас не позднее 22 октября составить список участников, сдавших работы, и выслать его в центральный оргкомитет по адресу fdi@imi.ras.ru. Список следует составить в формате протокола проверки работ (с незаполненными баллами). Для каждого из вариантов (5 класс, 6 класс и т.д.) используйте отдельный лист электронной книги Excel.

Протокол проверки работ (43,0 KБ) скачайте с http://formulo.org/media/cms_page_media/32/eval.xls .
Между 23 и 26 октября мы вышлем Вам верные решения и критерии оценивания. Баллы за решения задач просим вносить в графы протокола, относящиеся к 1-й проверке.
Если в Вашем регионе (городе) есть местный оргкомитет олимпиады, просим Вас не позднее 3 ноября завершить проверку работ и передать (выслать) все работы в местный оргкомитет вместе с протоколом 1-й проверки.
Если в Вашем регионе (городе) нет местного оргкомитета, просим Вас завершить проверку работ к 10 ноября и выслать протокол в центральный оргкомитет по адресу fdi@imi.ras.ru. В дальнейшем мы попросим Вас отсканировать и выслать нам часть работ (в основном, с достаточно высокими баллами).