October 1st, 2014

Международная математическая олимпиада "Третье тысячелетие" стартовала уже в пятнадцатый раз

Второй год подряд мы проводим олимпиаду в два тура как объединённую олимпиаду с "Формулой Единства". Первый (заочный) тур олимпиады в этом учебном году проводится с 1 по 21 октября. В 2014/15 учебном году олимпиада "Формула Единства" / "Третье тысячелетие" включена в проект Перечня олимпиад школьников РСОШ (3-я категория).
К участию в Олимпиаде приглашаются российские школьники 5-11 классов и школьники аналогичных возрастных групп из всех стран мира. Олимпиада проводится в два этапа, первый из которых заочный (сентябрь-октябрь), а второй - очный (февраль). Призёры получают приглашение в дистанционный математический кружок при СПбГУ и в международный летний лагерь "Формула Единства".
Ближайшими постами я выложу тексты задач по-русски. Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada . Если там же нажать на нужные флажки, то можно найти тексты на английском, испанском и других языках.
promo matholimp april 19, 06:59 18
Buy for 10 tokens
Канун дней рождения величайших мерзавцев, сильнее других повлиявших на историю ХХ века (рамки которого задним числом разумнее определять как 1918-2018), побуждает к юбилейному тексту. На исходе первой мировой волна социалистических революций прокатилась по многим воюющим странам. Вопреки мечте о…

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 5 класса

1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
3. Саша зачеркнул на 25-й странице учебника все слова, в которых нет буквы А, потом он зачеркнул все слова, в которых нет буквы Б, а потом он нашел все слова, где есть и буква О, и буква А, и тоже зачеркнул их. Костя на той же странице своего учебника зачеркнул слова, где нет Б, но есть А или О (возможно, обе сразу), и после этого он зачеркнул все слова, где нет ни буквы А, ни буквы О. Могло ли у Саши остаться незачеркнутыми больше слов, чем у Кости?
4. В каждом из двух классов по 30 учеников. Мальчиков в первом классе в 2 раза больше, чем во втором, а девочек – в 3 раза меньше, чем во втором. Сколько мальчиков и девочек в каждом классе?
5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
6. Первоначально на доске написано число 1. Разрешается любое написанное на доске число умножить на 3 или переставить в нём цифры. Можно ли таким образом получить 999?


В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 6 класса

1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
3. Саша зачеркнул на 25-й странице учебника все слова, в которых нет буквы А, потом он зачеркнул все слова, в которых нет буквы Б, а потом он нашел все слова, где есть и буква О, и буква А, и тоже зачеркнул их. Костя на той же странице своего учебника зачеркнул слова, где нет Б, но есть А или О (возможно, обе сразу), и после этого он зачеркнул все слова, где нет ни буквы А, ни буквы О. Могло ли у Саши остаться незачеркнутыми больше слов, чем у Кости?
4. В каждом из двух классов по 30 учеников. Мальчиков в первом классе в 2 раза больше, чем во втором, а девочек – в 3 раза меньше. Сколько мальчиков и девочек в каждом классе?
5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
6. Первоначально на доске написано число 1. Разрешается любое написанное на доске число умножить на 2 или переставить в нём цифры. Можно ли таким образом получить 209?

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 7 класса

1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
3. Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое наименьшее возможное значение может принимать НОК этих чисел?
4. Докажите, при любой расстановке чисел 1, 2, …, 10 по кругу найдутся три соседних числа с суммой не менее 18.
5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
6. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 11, заканчивается на 11 и делится на 7. Объясните, почему это число является наименьшим из удовлетворяющих условию.

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 8 класса

1. Докажите, что для любого n>3 существует n-угольник, у которого никакие две диагонали не параллельны.
2. BK – биссектриса треугольника ABC. Известно, что AB=AC, а BC=AK+BK. Найдите углы треугольника АВС.
3. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
4. Даны 15 составных чисел, не превосходящих 2014. Докажите, что какие-то два из них имеют общий делитель, больший 1.
5. Дан квадрат 100х100 без угловой клетки. Можно ли разрезать его по клеткам на 33 фигуры, у которых одинаковые площади и одинаковые периметры?
6. В шестизначном числе поставили знак произведения после первых трех цифр, и оказалось, что произведение двух полученных трехзначных чисел в 7 раз меньше исходного числа. Какое число было написано?
7. У нас есть набор из N2 карточек, на каждой карточке с одной стороны написано число, с другой стороны пусто. Написанные числа попарно различны. Эти карточки выложены в виде квадрата NхN пустой стороной (рубашкой) вверх. Разрешается перевернуть любую карточку и тем самым узнать написанное на ней число. Доказать, что не более чем за 8N переворачиваний можно найти карточку, число на которой меньше чисел всех её соседей (по стороне).
8. Назовем число натуральное возрастающим, если в нем цифры идут в порядке строгого возрастания (например, 1589 - возрастающее, а 447 - нет). Какое наименьшее количество возрастающих чисел надо сложить, чтобы получить 2014?
9. Найдите натуральные А, В и С из уравнения 2014=2А−2В−2В+С .
10. В треугольнике АВС углы В и С равны 30° и 105°, а Р – середина стороны ВС. Найдите угол ВАР.

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1411359.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 9 класса

1. Докажите, что для любого n>3 существует n-угольник, у которого никакие две диагонали не параллельны.
2. Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое наименьшее возможное значение может принимать НОК этих чисел?
3. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
4. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
5. Дан квадрат 100х100 без угловой клетки. Можно ли разрезать его на 33 фигуры, у которых одинаковые площади и одинаковые периметры?
6. Найдите натуральные А, В и С из уравнения 2014=2А−2В−2В+С .
7. В таблице 30х30 клеток поставлено 162 плюса и 144 минуса (в каждой клетке не более одного знака) так, что в каждой строке и каждом столбце таблицы стоит не более 17 знаков. Для каждого плюса подсчитали, сколько минусов находится в той же строке. Для каждого минуса подсчитали, сколько плюсов находится в том же столбце. Какое наибольшее значение может иметь сумма найденных чисел?
8. В треугольнике АВС выбрана точка D на стороне АВ так, что углы АСD и АВС равны. Пусть S − центр описанной окружности треугольника ВСD. Докажите, что точки А, С, S и середина BD лежат на одной окружности.
9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
10. Пусть Н – такая точка внутри треугольника АВС, что равны величины углов НАВ и НСВ, а также НВС и НАС. Докажите, что Н – точка пересечения высот треугольника АВС.

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1411835.html , http://matholimp.livejournal.com/1411359.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 10 класса

1. Выберите на каждой стороне квадрата по одной точке так, чтобы образованный ими четырехугольник имел наименьший периметр.
2. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
3. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
4. Костя выписал на доску 30 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061. Докажите, что в ней содержится не более 20 точных квадратов.
5. Вещественные числа x и y таковы, что x4y2+x2+2x3y+6x2y+8≤0 . Докажите, что x≥−1/6.
6. Решите систему уравнений:
2a + 3b = 5b
3a + 6b = 9b
7. Маша красит клетки белой доски 10х10. Она может покрасить любой вертикальный ряд клеток синей краской или любой горизонтальный ряд красной краской (каждый ряд красят не более одного раза). Если синяя краска ложится поверх красной, получается синяя клетка, а если красная поверх синей, то краски вступают в реакцию и обесцвечиваются, получается белая клетка. Может ли на доске оказаться 33 красных клетки?
8. В треугольнике АВС выбрана точка D на стороне АВ так, что углы АСD и АВС равны. Пусть S − центр описанной окружности треугольника ВСD. Докажите, что точки А, С, S и середина BD лежат на одной окружности.
9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
10. Решите уравнение в простых числах: 100q+80=p3+рq2 .

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1411867.html , http://matholimp.livejournal.com/1411835.html , http://matholimp.livejournal.com/1411359.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 11-12 классов

1. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
2. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
3. Костя выписал на доску 30 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061. Докажите, что в ней содержится не более 20 точных квадратов.
4. Вещественные числа x и y таковы, что x4y2+x2+2x3y+6x2y+8≤0 . Докажите, что x≥−1/6.
5. Маша красит клетки белой доски 10х10. Она может покрасить любой вертикальный ряд клеток синей краской или любой горизонтальный ряд красной краской (каждый ряд красят не более одного раза). Если синяя краска ложится поверх красной, получается синяя клетка, а если красная поверх синей, то краски вступают в реакцию и обесцвечиваются, получается белая клетка. Может ли на доске оказаться 33 красных клетки?
6. Можно ли утверждать, что log{√{a}}(a+1)+ log{a+1}(√{a}) ≥√6 при a>1 ?
7. Докажите, что количество способов разрезать прямоугольник 200х3 на домино (прямоугольники 1х2) делится на 3.
8. Случайным образом выбираются 3 числа от 1 до N и располагаются в порядке возрастания. С какой вероятностью они образуют арифметическую прогрессию?
9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
10. Пусть d(k) – число делителей натурального числа k, а квадратные скобки означают целую часть вещественного числа. Докажите, что числа d(1)+d(2)+...+d(n) и целая часть √n имеют одинаковую чётность.

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1412298.html , http://matholimp.livejournal.com/1411867.html , http://matholimp.livejournal.com/1411835.html , http://matholimp.livejournal.com/1411359.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .