Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Задачи 5 класса (для тренировки и обсуждения)

2002 год
1. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 5 ? на 55 ? на 555 ?
2. Игра «Крестики-крестики» отличается от известных «крестиков-ноликов» только тем, что оба игрока ставят одинаковые крестики. Как и обычно, крестик можно поставить в любую свободную клетку квадрата 3х3, ходы делают по очереди, а выигрывает тот из двух игроков, кто сумеет поставить три крестика на одной прямой (вертикали, горизонтали или диагонали).
У которого из двух игроков есть возможность наверняка победить в этой игре?
3. На саммит приехали 10 президентов. Организаторы знают, что каждый из них свободно говорит на каких-то трех из шести официальных языков ООН, но не знают, кто на каких именно. Организаторы планируют проведение пресс-конференций, на каждой из которых будет только один рабочий язык.
Какое наименьшее число пресс-конференций нужно провести, чтобы каждый президент смог участвовать хотя бы в одной из них без переводчика?
4. В записи некоторого числа использованы все 10 цифр, причем каждая по одному разу.
Может ли это число быть простым?
5. Все грани куба с ребром длины 2 разбиты средними линиями на единичные квадраты.
Можно ли раскрасить эти квадраты в три цвета так, чтобы любые два из них, имеющие общую сторону, были закрашены в разные цвета?
6. Банк покупает доллары у клиентов по 31 рублю, а продает за 32 рубля, покупает евро по 27 рублей, а продает за 28 рублей. У одного из двух братьев есть пачка купюр евро, а у другого – долларов.
В каком соотношении они должны поменять доллары на евро друг другу, чтобы оба могли считать обмен справедливым?



2003 год
1. В одной из 16 клеток доски 4х4 стоит Шуршавчик, который может ходить по горизонтали или по вертикали на 2 или на 3 клетки (перелетая по воздуху через 1 или 2 клетки). Выберите одну из клеток доски и, начав с неё, обойдите Шуршавчиком как можно больше клеток, не вставая ни на какую более одного раза. Порядок обхода клеток укажите номерами 1, 2, 3, … .
2. Из пяти различных цифр Миша составил пятизначное число. Взяв оставшиеся пять цифр, Лёша тоже составил из них пятизначное число. Наташа сложила числа мальчиков. Могло ли у неё получиться число, в котором три единицы и три двойки?
3. Жулик попросил у продавщицы Маши бутылку лимонада за 30 рублей, дав фальшивую 100-рублёвую купюру. Сдачи у Маши не было, и она разменяла купюру в соседнем ларьке у продавца Васи. Когда жулик ушёл, Вася понял, что купюра фальшивая, и Маше пришлось отдать ему настоящие 100 рублей. Какой убыток понесла Маша?
4. Аня умножила номер своей квартиры не то на 6, не то на 7. Боря прибавил к результату Ани не то 6, не то 7. Ваня отнял от результата Бори не то 6, не то 7. В итоге получилось 2003. Какой номер у Аниной квартиры?
5. Кот Леопольд хочет подарить 9 мышатам одну коробку конфет, в которой должно быть столько конфет, чтобы мышата смогли поделить их, не ломая, так, чтобы каждому досталась хотя бы одна конфета и никто из мышат не получил конфет поровну. В магазине продаются коробки, в которых конфет 40, 45, 50 и 55. Какие из них не стоит покупать коту Леопольду?
6. Если последние три цифры числа 2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется Санкт-Петербургу в мае 2003 года. Как скоро наступит следующий год с таким же свойством?



2004 год
1. Известно, что в пьяном виде маляр работает вдвое медленнее, чем в трезвом. В первую неделю он покрасил на 300 метров забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю пьянствовал на два дня больше, чем в первую.
Сколько метров забора в день красит трезвый маляр?
2. Санкт-Петербург основан в 1703 году.
Наступит ли когда-нибудь такой год, в котором Санкт-Петербургу исполнится столько лет, сколько получится, если откинуть от этого года первую цифру?
3. Один гость, приезжавший на юбилей Санкт-Петербурга, тратил деньги только на поездки в метро (по 7 рублей за жетон) и походы в музеи (по 50 рублей за визит). Позже он подсчитал свои расходы и только по ним понял, сколько раз он ездил на метро и сколько раз ходил в музей.
Какой суммы не могли в этом случае превысить его расходы?
4. Вы видите, как на стенке то появляются, то исчезают светящиеся трёхзначные числа. На стене написано, что каждое следующее число — это три последние цифры произведения двух предыдущих чисел. Вспыхивает число 995, после этого — ещё несколько чисел, которых Вы не запомнили, затем появляется 998.
Можно ли верить надписям на стенах?
5. Найдите количество таких трёхзначных чисел, у которых все цифры различны, первая цифра делится на 3, вторая — на 2.
6. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) .
Чему в новой алгебре Льва равно произведение 2 на 2 ?



2005 год
1. В театре есть три прожектора – красный, синий и желтый, которыми с помощью переключателей управляют два осветителя. Переключатель позволяет зажечь любой погашенный прожектор, либо погасить зажженный. Комбинация красного и синего цветов дает фиолетовый, красного и желтого – оранжевый, а синего и желтого – зеленый. Включение сразу всех прожекторов назовем белым цветом, а гашение всех – черным.
В некоторый момент сцена была окрашена в оранжевый цвет. Что произойдет, если одновременно, но не сговариваясь друг с другом, один из осветителей захочет перекрасить ее в фиолетовый цвет, а другой – в зеленый?
2. Министр финансов Дурляндии выпустил в обращение только монеты достоинством в 7 и 11 дуриков. Покупатель должен заплатить продавцу ровно 5 дуриков.
Сумеют ли они рассчитаться, если у каждого из них есть только по 4 монеты того и другого достоинства?
3. Какой день недели наступит ровно через 2005 недель после 24 января 2005 года?
4. Квадратную клеточку можно двумя способами разбить диагональю на два треугольника. Если один из треугольников закрасить, то такую фигуру назовем ежиком. Двух ежиков нельзя размещать на клетчатой бумаге так, чтобы они имели общую сторону.
Какое наименьшее число ежиков и как можно расположить в квадрате 5х5 клеток, чтобы к ним с соблюдением данного условия уже нельзя было добавить ни одного нового?
5. Слиток имеет форму кирпича и весит 10 килограмм. Его муляж на 20% короче, на 25% шире и сделан из вдвое более легкого материала. Оказалось, что весят они одинаково.
Что выше – муляж или слиток – и на сколько процентов?
6. Существует ли натуральное число, сумма цифр которого больше его самого?




2006 год
1. Лев записал в таблицу 5х5 целые числа. Оказалось, что каждое число равно среднему арифметическому остальных 24 чисел. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
2. Ник и Дик придумали себе игру. Сначала они выбирают три цифры (от 0 до 9; Ник – первую и третью, а Дик – вторую). Затем Дик выбирает арифметической действие (сложение, вычитание, умножение или деление). Ник должен поставить знак этого действия между двумя из выбранных цифр так, чтобы в итоге получилась третья (в любом порядке). Если он сумеет это сделать, то выигрывает, а если нет, то проиграл. Например, если названы цифры 1, 2, 3 и вычитание, то Ник выиграет (так как 3–1=2), а если умножение, то проиграет. У которого из двух игроков есть возможность сделать беспроигрышный выбор?
3. Разбейте 2006 в сумму как можно большего числа различных натуральных слагаемых.
4. У Винни-Пуха есть несколько горшочков из-под мёда и несколько лопнувших шариков. Так как красных шариков у Винни-Пуха было больше, чем шариков какого-либо другого цвета, то сначала он разложил в горшочки по одному красному шарику. Но несколько горшочков остались пустыми, и тогда Винни-Пух положил в них по одному зеленому шарику. Оставшиеся зеленые шарики он разложил в те горшочки, где уже лежали красные. Затем Винни-Пух разложил по горшочкам шарики остальных цветов, следя за тем, чтобы ни в одном горшочке не оказались два одинаковых шарика. Какое наименьшее число горшочков могло быть у Винни-Пуха?
5. Лев хочет раскрасить все точки плоскости в несколько цветов так, чтобы на каждой прямой отсутствовали точки хотя бы одного из использованных им цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется для такой раскраски?
6. Сколько календарных суток может занять промежуток времени из 2006 минут?



2007 год
1. Лугопарк имеет форму квадрата 12х12км, разбитого на три полосы, шириной по 4км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая - песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12км/час, по снегу 4км/час, а по песку - 3 км/час. Лыжник бежит по льду со скоростью 3км/час, по снегу 12км/час, а по песку - 4 км/час. Атлет бежит по льду со скоростью 4км/час, по снегу 3км/час, а по песку - 12км/час. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?
2. У Вовы есть чудо-калькулятор с двумя кнопками, одна из которых увеличивает высвеченное на индикации число на 1, а другая - в 2 раза. В начальный момент на индикации 0. Помогите ему так нажать на эти кнопки, чтобы получить на индикации 2007. Как это сделать наименьшим числом нажатий?
3. В понедельник, среду и пятницу акции ООО "Рога и Копыта" росли в цене на 20%, а во вторник и четверг падали на 25%. В какой момент недели курс акций был выше всего?
4. Катя нашла наименьшее из натуральных чисел, у которых сумма цифр равна 2007. Чему равна сумма цифр следующего за ним числа?
5. Материки зеленой планеты занимают на ней вдвое большую площадь, чем океаны. Четверть площади материков занимают озера. Пятую часть площади океанов и шестую часть площади озер занимают острова. Чего больше на поверхности зеленой планеты - суши или воды?
6. Два игрока по очереди ставят цифры в свободные клетки квадрата 4х4. Тот, кто ставит первую цифру, стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом угловом квадрате 2х2 все 4 цифры оказались различными. Второй старается ему в этом помешать, однако не имеет права нарушать эти правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?



2008 год
1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 5. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. В квадрате 5х5 проведены линии, разбивающие его на клетки 1х1. Сколько всего квадратов можно найти на получившемся чертеже?
3. Аня хочет положить в каждую коробку одинаковое число своих игрушек. Сначала она попыталась разложить их по 12 в каждую коробку, но 5 игрушек оказались лишними. Затем она попробовала разложить их по 15 в каждую коробку, но для последней коробки остались только 2 игрушки. Тогда Аня догадалась взять еще одну коробку. Сколько игрушек Аня должна теперь положить в каждую коробку, чтобы добиться своей цели?
4. Какой цифрой заканчивается десятичная запись числа 20082008 ?
5. Можно ли так расположить на плоскости 5 отрезков, чтобы каждый из них пересекался со всеми остальными, кроме какого-то одного?
6. Серия трамвайных билетов включает все шестизначные номера от 000000 до 999999. Петербурженка Ася коллекционирует билеты, номера которых делятся на 78. Москвич Вася предпочитает билеты, номера которых делятся на 77, но не делятся на 78. Каких билетов в серии больше и на сколько: интересных Асе или Васе?



2009 год
1. Расставьте в клетках квадрата 4х4 одну единицу, две двойки, 3 тройки, 4 четверки, 5 пятерок и еще одну любую цифру по своему выбору так, чтобы во всех строках получилась одна и та же сумма цифр.
2. Расположите на плоскости 12 спичек так, чтобы они образовали как можно больше различных квадратов. Укажите в ответе число этих квадратов.
3. Вася хотел купить 39 оловянных солдатиков, но ему не хватило 14 тугриков. Тогда он купил 35 солдатиков, а 18 тугриков остались лишними. Сколько тугриков было у Васи?
4. Поверхность кубика Рубика состоит из 6 квадратных граней, каждая из которых разбита на 9 клеток (3х3). Муравей может из любой клетки переползти в любую из четырех соседних – имеющих с ней общую сторону (в той же грани, либо через ребро). Помогите муравью обойти все клетки, побывав в каждой из них ровно по одному разу.
5. Однажды в феврале было пять пятниц. Сколько вторников было в июле того же года?
6. Четыре фломастера стоят дороже пяти авторучек, четыре авторучки дороже трех фломастеров, а два карандаша ровно столько же, сколько фломастер и авторучка вместе взятые. Макс купил 8 карандашей, а Петр - 7 фломастеров. Кто из мальчиков потратил больше денег?
Tags: олимпиада
Subscribe
promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments