Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Задачи 7 класса (для тренировки и обсуждения)

2001 год
1. Автобусный билет имеет шестизначный номер (от 000001 до 999999). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр номера равна сумме трех его последних цифр. Докажите, что количество счастливых билетов не больше 1/11 от общего числа билетов.
2. Может ли выпуклый многогранник иметь только семиугольные грани?
3. Докажите, что n7-36n делится на 7 при любом натуральном n.
4. Заседания научной конференции будут проходить в трех секциях: алгебры, геометрии и комбинаторики, а официальными языками конференции объявлены русский, английский и китайский. Известно, что каждый участник конференции собирается сделать два доклада на разных секциях и владеет ровно двумя из этих языков. Организаторы хотят провести конференцию за два дня и так составить ее расписание, чтобы в течение дня никто из участников не переходил из одной секции в другую, но все присутствующие могли бы понять каждый доклад.
Как можно составить такое расписание?
5. Найдите все натуральные x , для которых
((xx+1)x+xx) ((xx+1)x—1+xx(x+1))=2001 .
6. Из прямоугольного листа бумаги вырезали пять пятиугольников так, что оставшаяся часть образует выпуклый многоугольник.
Сколько сторон он может иметь?



2002 год
1. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 7 ? на 77 ? на 777 ?
2. O – центр правильного пятиугольника ABCDE. OH – высота треугольника OAB. OK – биссектриса треугольника OAH.
Докажите, что треугольник OKB – равнобедренный.
3. Многочлен P(x,y,z) относительно каждой из трех переменных имеет степень 1000, а относительно каждой пары переменных – степень 1500.
Может ли он по совокупности всех трех переменных иметь степень 2002 ?
4. Банк покупает доллары у клиентов по 31 рублю, а продает за 32 рубля, покупает евро по 27 рублей, а продает за 28 рублей. У одного из двух братьев есть пачка купюр евро, а у другого – долларов.
В каком соотношении они должны поменять доллары на евро друг другу, чтобы оба могли считать обмен справедливым?
5. На саммит приехали 19 президентов. Организаторы знают, что каждый из них свободно говорит на каких-то трех из шести официальных языков ООН, но не знают, кто на каких именно. Организаторы планируют проведение пресс-конференций, на каждой из которых будет только один рабочий язык.
Какое наименьшее число пресс-конференций нужно провести, чтобы каждый президент смог участвовать хотя бы в одной из них без переводчика?
6. Все грани куба с ребром длины 3 разбиты на единичные квадраты.
Можно ли раскрасить эти квадраты в три цвета так, чтобы любые два из них, имеющие общую сторону, были закрашены в разные цвета?



2003 год
1. В одной из 16 клеток доски 4х4 стоит Шуршавчик, который может ходить по горизонтали или по вертикали на 2 или на 3 клетки (перелетая по воздуху через 1 или 2 клетки). Выберите одну из клеток поля и, начав с неё, обойдите Шуршавчиком как можно больше клеток, не вставая ни на какую более одного раза. Порядок обхода клеток укажите номерами 1, 2, 3, … .
2. Из пяти различных цифр Костя составил пятизначное число. Взяв оставшиеся пять цифр, Дима тоже составил из них пятизначное число. Маша сложила числа мальчиков. Могло ли у неё получиться число, в котором только две различных цифры, причём у них поровну повторов?
3. Светлана Сергеевна дала ученикам задание: сократить дробь 111112003/111113002. Через некоторое время старательная Наташа сказала, что сократила дробь, а ленивый Андрей говорит, что дробь несократима. Кто из них прав?
4. Можно ли из каких-нибудь двух различных равнобедренных треугольников сложить прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов на 6° больше другого?
5. Клетки доски 8х8, которые сначала все были белого цвета, по очереди закрашивают в синий цвет так, чтобы после закрашивания каждой клетки фигура, состоящая из синих клеток, имела ось симметрии. Соблюдая это условие, закрасьте как можно больше клеток (доказательства максимальности не требуется). Порядок закраски клеток укажите номерами 1, 2, 3, … .
6. Если последние три цифры числа 2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется Санкт-Петербургу в мае 2003 года. Случались ли прежде в истории Санкт-Петербурга годы с таким же свойством?



2004 год
1. Три года назад внучка была втрое младше деда, а через 16 лет будет вдвое младше.
Сколько лет каждому?
2. Известно, что в пьяном виде маляр работает вдвое медленнее, чем в трезвом. В первую неделю он покрасил на 300 метров забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю пьянствовал на два дня больше, чем в первую.
Сколько метров забора в день красит трезвый маляр?
3. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) .
Равны ли в новой алгебре Льва произведения 3 на 4 и 4 на 3 ?
4. На плоскости провели 4 прямых, в результате чего она разбилась на несколько областей. В каждую область записали число участков, из которых состоит ее граница (эти участки могут быть отрезками, лучами или целыми прямыми).
Найдите наибольшее и наименьшее значения суммы всех записанных чисел.
5. Найдите наименьшее натуральное число, которое нацело делится на 2000, 2001, 2002, 2003 и 2004.
6. Перед Вами оказывается шесть дверей, и к каждой прикреплена табличка. Из надписей на стенах Вы узнаёте, что за одной дверью — выход, за остальными — либо ложные ходы, либо свирепые людоеды. Если за дверью выход, то на табличке, прикреплённой к этой двери, написана правда, если людоед — ложь, а на дверях с ложными ходами может быть написано все, что угодно. Ошибаться не стоит: о свирепости людоедов красноречиво свидетельствуют обглоданные человеческие кости, беспорядочно разбросанные по всему помещению.

1. За этой дверью нет выхода.

2. Утверждение 1 ложно.

3. За этой дверью то же, что и за дверью 6.

4. На дверях 1 и 6 написаны утверждения одинаковой истинности

5. За дверью 2 — очень голодный людоед.

6. За этой дверью — людоед.


В какую дверь Вам следует войти?


2005 год
1. Можно ли получить ромб, приложив друг к другу несколько копий одного и того же разностороннего треугольника?
2. Назовите дату, ровно на 2005 недель более позднюю, чем 24 января 2005 года.
3. Можно ли так расставить на шахматной (8х8) доске цифры от 0 до 9, чтобы в клетках, соседних с каждой (их от 3 до 8), стояли только различные цифры, и ни для каких двух клеток не повторялась бы очередность этих соседних номеров при обходе вокруг клетки против часовой стрелки?
4. Алекс написал на карточках числа от 10000 до 99999. Затем он выбрал из них десять неизвестно каких карточек и хочет выложить их друг за другом так, чтобы полученное 50-значное число не делилось на 41.
Всегда ли он сможет так сделать?
5. В театре есть три прожектора – красный, синий и желтый, которыми с помощью переключателей управляют два осветителя. Переключатель позволяет зажечь любой погашенный прожектор, либо погасить зажженный. Комбинация красного и синего цветов дает фиолетовый, красного и желтого – оранжевый, а синего и желтого – зеленый. Включение сразу всех прожекторов назовем белым цветом, а гашение всех – черным.
Окончательно запутавшись, осветители хотят занумеровать эти восемь цветов числами и придумать такую операцию над номерами, чтобы ее выполнение позволяло быстро и легко определить, как именно заменить любой из цветов любым другим.
Помогите им решить эту проблему.
6. Министр финансов Дурляндии выпустил в обращение только монеты достоинством в 7 и 11 дуриков. Покупатель должен заплатить продавцу ровно 5 дуриков.
Сумеют ли они рассчитаться, если у каждого из них есть только по 3 монеты того и другого достоинства?


2006 год
1. Лев записал в таблицу 7х7 целые числа. Оказалось, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в клетки, имеющие с данной общую сторону. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
2. Ник утверждает, что если натуральное число делится на 2006, то при делении на 2005 оно даст в остатке 1. Прав ли Ник?
3. У Винни-Пуха есть несколько горшочков из-под мёда и несколько лопнувших шариков. Так как красных шариков у Винни-Пуха было больше, чем шариков какого-либо другого цвета, то сначала он разложил в горшочки по одному красному шарику. Но несколько горшочков остались пустыми, и тогда Винни-Пух положил в них по одному зеленому шарику. Оставшиеся зеленые шарики он разложил в те горшочки, где уже лежали красные. Затем Винни-Пух разложил по горшочкам шарики остальных цветов, следя за тем, чтобы в каждом горшочке оказалось разное число шариков. Какое наименьшее число шариков могло быть у Винни-Пуха?
4. Найдите оба корня уравнения 2=х+2006 .
5. Одну из сторон прямоугольника увеличили на 2006%. На сколько процентов нужно уменьшить другую его сторону, чтобы площадь прямоугольника осталась прежней?
6. Лев утверждает, что если сумма цифр числа, записанного в системе счисления с основанием 2006, делится на 5, то и само число тоже делится на 5. Прав ли он?



2007 год
1. Лугопарк имеет форму квадрата 12х12км, разбитого на три полосы, шириной по 4км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая - песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12км/час, по снегу 4км/час, а по песку - 3 км/час. Лыжник бежит по льду со скоростью 3км/час, по снегу 12км/час, а по песку - 4 км/час. Атлет бежит по льду со скоростью 4км/час, по снегу 3км/час, а по песку - 12км/час. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?
2. У Бори есть чудо-калькулятор с двумя кнопками, одна из которых вычитает высвеченное на индикации число из 1, а другая - увеличивает в 2 раза. В начальный момент на индикации 0. Помогите ему так нажать на эти кнопки, чтобы получить на индикации 2007. Как это сделать наименьшим числом нажатий?
3. В понедельник, среду и пятницу акции ООО "Рога и Копыта" росли в цене на 25%, а во вторник и четверг падали на 20%. В какой момент недели курс акций был выше всего?
4. Можно ли так раскрасить клетки квадрата 4х4 в 7 цветов, чтобы никакая пара цветов не встречалась в соседних клетках (имеющих общую сторону) более одного раза?
5. Эскалатор на "Пушкинской" поднимает неподвижно стоящего пассажира за 120 секунд, а на "Пролетарской" за 140 секунд. Юра пробегает вверх по эскалатору на "Пушкинской" за 30 секунд, а Боря на "Пролетарской" за 38 секунд. Кто из мальчиков бегает быстрее и во сколько раз?
6. Два игрока по очереди ставят цифры в свободные клетки квадрата 4х4. Тот, кто ставит первую цифру, может ставить только цифры 1 или 3. Он стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом угловом квадрате 2х2 все 4 цифры оказались различными. Второй может ставить только цифры 2 или 4 и старается помешать первому. Однако он не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?



2008 год
1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 7. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. Можно ли так расположить на плоскости 7 отрезков, чтобы каждый из них пересекался со всеми остальными, кроме какого-то одного?
3. В полку меньше тысячи солдат. Полковник хочет построить их на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить по 19 солдат в каждой шеренге, но опять не хватило одного солдата. Сумеет ли полковник поставить по 20 солдат в каждой шеренге?
4. Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге замкнутую ломаную линию длины 2008, идущую по линиям сетки и охватывающую 2008 клеток?
5. В языке племени δεβαγ есть две гласных буквы (α и ε) и три согласных (β, γ и δ). Ни в одном слове этого языка нет ни двух подряд одинаковых букв, ни трех подряд согласных, ни двух одинаковых слогов. Каждый слог обязательно включает гласную букву, а также предшествующую ей согласную (если она там есть). Если между двумя гласными стоят подряд две согласные, то они относятся к разным слогам. Какое наибольшее число букв может иметь слово этого языка?
6. Шахматная доска имеет форму квадрата 8х8, клетки которой поочередно закрашены в черный и белый цвета. Новая фигура «динозавр» бьет все клетки противоположного цвета, не лежащие вместе с ним на одной вертикали, горизонтали или диагонали. В какую клетку нужно поставить динозавра, чтобы он бил как можно большее число клеток?



2009 год

1. Расставьте одну единицу, две двойки, 3 тройки, 4 четверки, 5 пятерок, 6 шестерок, 7 семерок и 8 восьмерок в клетках квадрата 6х6 так, чтобы во всех строках была одна и та же сумма цифр.
2. Расположите на плоскости 24 спички так, чтобы они образовали как можно больше различных квадратов. Укажите в ответе число этих квадратов.
3. Найдите все пары натуральных чисел А и В, для которых 2─В2)2─(2В)2=2009 .
4. Поверхность гигантского кубика Рубика состоит из 6 квадратных граней, каждая из которых разбита на 25 клеток (5х5). Муравей может из любой клетки переползти в любую из четырех соседних – имеющих с ней общую сторону (в той же грани, либо через ребро). Помогите муравью обойти все клетки, побывав в каждой из них ровно по одному разу.
5. Магазин снизил цену товара на 20%, благодаря чему продал его на 20% больше. На сколько процентов и в какую сторону изменилась выручка магазина?
6. Восемь фломастеров стоят дороже четырех карандашей и пяти авторучек, четыре авторучки дороже трех фломастеров, а два карандаша ровно столько же, сколько фломастер и авторучка вместе взятые. Юрий купил 6 фломастеров, а Павел - 7 авторучек. Кто из мальчиков потратил больше денег?
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments