Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Задачи 8 класса (для тренировки и обсуждения)

2001 год
1. APCQ — параллелограмм.
Докажите, что ABCD — параллелограмм тогда и только тогда, когда BQDP — параллелограмм.
2. Заседания научной конференции будут проходить в трех секциях: алгебры, геометрии и комбинаторики, а официальными языками конференции объявлены русский, английский и китайский. Известно, что каждый участник конференции собирается сделать два доклада на разных секциях и владеет ровно двумя из этих языков. Организаторы хотят провести конференцию за два дня и так составить ее расписание, чтобы в течение дня никто из участников не переходил из одной секции в другую, но все присутствующие могли бы понять каждый доклад.
Всегда ли организаторы сумеют так сделать?
3. Сколько граней может иметь пересечение двух четырехугольных пирамид?
4. Найдите все натуральные x , для которых
x(xx—1)x—1—xx=2001 .
5. Внутри многоугольника произвольно выбраны две точки A и B .
Докажите, что найдется такая вершина P этого многоугольника, что угол ABP – тупой.
6. Юра получил одинаковые результаты, перемножив две разных пары трехзначных чисел, совокупная запись которых содержит только две различных цифры (например, 222 на 333 и 232 на 323).
Докажите, что он ошибся.



2002 год
1. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 8 ? на 88 ? на 888 ?
2. Назовем волшебным многоугольник, у которого все окружности, построенные на его сторонах, как на диаметрах, имеют общую точку.
Может ли волшебный многоугольник иметь 5 сторон?
3. Разложите многочлен x15–1 в произведение четырех множителей.
4. Банк покупает доллары у клиентов по 31 рублю, а продает за 32 рубля, покупает евро по 27 рублей, а продает за 28 рублей. У одного из двух братьев есть пачка купюр евро, а у другого – долларов.
В каком соотношении они должны поменять доллары на евро друг другу, чтобы оба могли считать обмен справедливым?
5. Каждую сторону правильного пятиугольника разбили на три равные части. Все точки деления попарно соединили друг с другом.
Пройдет ли хотя бы один из проведенных отрезков через центр пятиугольника?
6. Найдите наименьшее натуральное число, имеющее 16 различных делителей, но не делящееся ни на 3, ни на 5.



2003 год
1. В одной из 16 клеток доски 4х4 стоит Шуршавчик, который может ходить по горизонтали или по вертикали на 2 или на 3 клетки (перелетая по воздуху через 1 или 2 клетки). Выберите одну из клеток поля и, начав с неё, обойдите Шуршавчиком как можно больше клеток, не вставая ни на какую более одного раза. Порядок обхода клеток укажите номерами 1, 2, 3, … .
2. Внутри квадрата АВСD взята такая точка Р, что АР=АВ. Прямая АР пересекает отрезок ВС в точке K. Прямая ВР пересекает отрезок СD в точке L. Докажите, что BK>2CL.
3. В олимпиаде участвовали 13 мальчиков и d девочек. Все вместе они набрали d2+10d+17 баллов, причём все набрали по одинаковому целому числу баллов. Сколько всего было участников олимпиады?
4. Могут ли три человека, имея один двухместный велосипед, преодолеть расстояние 21км за 3 часа, если скорость пешехода 5км/ч, велосипедиста с пассажиром – 10км/ч, а велосипедиста без пассажира – 15 км/ч ?
5. Петя написал несколько многочленов, возвёл каждый в квадрат и сложил результаты. Могло ли у него в итоге получиться выражение x2+y2+z2+3y+4x+2003xz+1 ?
6. Если последние три цифры числа 2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется Санкт-Петербургу в мае 2003 года. Сколько раз за следующие 300 лет истории города наступит год с таким же свойством?



2004 год
1. Один гость, приезжавший на юбилей Санкт-Петербурга, тратил деньги только на поездки в метро (по 7 рублей за жетон) и походы в музеи (по 50 рублей за визит). Позже он подсчитал свои расходы и только по ним понял, сколько раз он ездил на метро и сколько раз ходил в музей.
Какой суммы не могли в этом случае превысить его расходы?
2. На плоскости построены несколько окружностей, никакие две из которых не пересекаются (но какие-то могут лежать внутри других). Назовем две окружности соседними, если на каждой из них можно выбрать по точке, отрезок между которыми не имеет общих точек ни с одной из остальных окружностей. Для каждой из построенных окружностей сосчитали число соседних с ней.
Могла ли сумма всех этих чисел оказаться равной 2004 ?
3. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) .
Чему в новой алгебре Льва равно произведение 8 на 8 ?
4. Дед Мороз увидел 2004 детей, выстроившихся по кругу. Проблема выдачи подарков заключалась в том, что двоечникам полагается один подарок, а всем остальным – два. Кроме того, двоечники вечно говорят неправду, в то время как остальные дети правдивы. Дед Мороз спросил: «Сколько подарков нужно давать стоящему слева от вас?», после чего сложил ответы детей. Потом он спросил: «Сколько подарков нужно давать стоящему справа от вас?», после чего сложил эти ответы.
Как сильно могут отличаться эти две суммы друг от друга?
5. На клетчатой бумаге по линиям прямоугольной сетки со стороной 1 построена замкнутая ломаная длины 2004.
Какую наибольшую площадь может охватить эта ломаная?
6. Перед Вами оказывается шесть дверей, и к каждой прикреплена табличка. Из надписей на стенах Вы узнаёте, что за одной дверью — выход, за остальными — либо ложные ходы, либо свирепые людоеды. Если за дверью выход, то на табличке, прикреплённой к этой двери, написана правда, если людоед — ложь, а на дверях с ложными ходами может быть написано все, что угодно. Ошибаться не стоит: о свирепости людоедов красноречиво свидетельствуют обглоданные человеческие кости, беспорядочно разбросанные по всему помещению.

1. За этой дверью нет выхода.

2. Утверждение 1 ложно.

3. За этой дверью то же, что и за дверью 6.

4. На дверях 1 и 6 написаны утверждения одинаковой истинности

5. За дверью 2 — очень голодный людоед.

6. За этой дверью — людоед.


В какую дверь Вам следует войти?


2005 год
1. Множество А состоит из натуральных чисел, ни сумма, ни разность никаких двух из которых не делятся на 2005.
Каково максимально возможное число элементов такого множества А?
2. Найдите наименьшее натуральное число, которое в трех системах счисления записывается (разными) парами одинаковых цифр.
3. Ник сумел сложить ромб из нескольких копий одного и того же разностороннего треугольника.
Какое наименьшее число копий он мог для этого использовать?
4. Назовите уже прошедшую дату (год, месяц, число), которую от 24 января 2005 года отделяют ровно 32 года, 32 месяца, 32 недели и 32 дня.
5. Можно ли так расставить на шахматной (8х8) доске цифры от 0 до 9, чтобы в клетках, соседних с каждой (их от 3 до 8), стояли только различные цифры, и ни для каких двух клеток не повторялась бы очередность этих соседних номеров при обходе вокруг клетки против часовой стрелки?
6. Алекс написал на карточках числа от 0 до 99999. Затем на карточках, отвечающих числам, меньшим 10000, он приписал впереди столько нулей, чтобы на каждой карточке оказалось ровно 5 цифр. Он хочет выложить эти карточки друг за другом так, чтобы полученное 500000-значное число делилось на 41.
Сможет ли он так сделать?



2006 год
1. Лев вписал целые числа в клетки шахматной доски (8х8). Оказалось, что каждое число на белой клетке равно среднему арифметическому остальных 7 чисел своего столбца, а каждое число на черной клетке равно среднему арифметическому остальных 7 чисел своей строки. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
2. Существует ли треугольник, площадь и длины двух сторон которого равны 2006 ?
3. Лев хочет раскрасить все точки плоскости в несколько цветов так, чтобы на каждой окружности отсутствовали точки хотя бы одного из использованных им цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется для такой раскраски?
4. Докажите, что х2006+х+1 можно разложить в произведение двух многочленов (выше первой степени) с целыми коэффициентами.
5. У Винни-Пуха есть несколько горшочков из-под мёда и несколько лопнувших шариков. Так как красных шариков у Винни-Пуха было больше, чем шариков какого-либо другого цвета, то сначала он разложил в горшочки по одному красному шарику. Но несколько горшочков остались пустыми, и тогда Винни-Пух положил в них по одному зеленому шарику. Оставшиеся зеленые шарики он разложил в те горшочки, где уже лежали красные. Затем Винни-Пух разложил по горшочкам шарики остальных цветов, следя за тем, чтобы во всех горшочках оказались разные комбинации шариков. Какое наименьшее число шариков могло быть у Винни-Пуха?
6. Лев утверждает, что если сумма цифр числа, записанного в системе счисления с основанием 2006, делится на 5, то и само число тоже делится на 5. Назовите еще два делителя с этим же свойством.



2007 год
1. Лугопарк имеет форму квадрата 12х12км, разбитого на три полосы, шириной по 4км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая - песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12км/час, по снегу 4км/час, а по песку - 3 км/час. Лыжник бежит по льду со скоростью 3км/час, по снегу 12км/час, а по песку - 4 км/час. Атлет бежит по льду со скоростью 4км/час, по снегу 3км/час, а по песку - 12км/час. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?
2. У Коли есть чудо-калькулятор с двумя кнопками, одна из которых вычитает высвеченное на индикации число из 1, а другая - увеличивает в 3 раза. В начальный момент на индикации 0. Помогите ему так нажать на эти кнопки, чтобы получить на индикации 2007. Как это сделать наименьшим числом нажатий?
3. Галя последовательно выписывает натуральные числа в двоичной системе счисления (1, 10, 11, 100, ...), суммирует записанные единицы и проверяет, не окажется ли сумма равной 2007. На каком числе Галя остановится, и что покажет её проверка?
4. Найдите такие натуральные m и n, что (m-n2)(m2-2n)=2007 .
5. Эскалатор на "Пушкинской" поднимает неподвижно стоящего пассажира за 120 секунд, а на "Пролетарской" за 140 секунд. Юра пробегает вверх по эскалатору на "Пушкинской" за 30 секунд, а Вася на "Пролетарской" за 40 секунд. Кто из мальчиков бегает быстрее и на сколько процентов?
6. Два игрока по очереди ставят цифры от 1 до 4 в свободные клетки квадрата 4х4. Тот, кто ставит первую цифру, стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом угловом квадрате 2х2 все 4 цифры оказались различными. Второй старается помешать первому. Однако он не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?



2008 год
1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 8. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. Архитектор хочет спланировать новый город, вокруг которого пройдет кольцевая автодорога в форме окружности, а все 2008 улиц должны быть прямыми. Все перекрестки в этом городе должны иметь форму буквы Т: одна улица (или КАД) проходит перекресток насквозь, а другая в него упирается. Каким может оказаться число перекрестков?
3. На чертеже отметили вершины и центр параллелограмма. Затем в каждом треугольнике с вершинами в этих точках отметили концы и середины медиан. Сколько всего оказалось отмеченных точек?
4. Серия трамвайных билетов включает все шестизначные номера от 000000 до 999999. Петербурженка Ася коллекционирует билеты, номера которых делятся на 78. Москвич Вася предпочитает билеты, номера которых делятся на 77, но не делятся на 78. Каких билетов в серии больше и на сколько: интересных Асе или Васе?
5. Шахматная доска имеет форму квадрата 8х8, клетки которой поочередно закрашены в черный и белый цвета. Новая фигура «динозавр» бьет все клетки противоположного цвета, не лежащие вместе с ним на одной вертикали, горизонтали или диагонали. В какую клетку нужно поставить динозавра, чтобы он бил как можно меньшее число клеток?
6. Каждое из трех натуральных чисел умножили на разность двух оставшихся, а произведения сложили. Сумма оказалась равна 2008. Подберите эти числа так, чтобы сумма их самих была как можно меньше.




2009 год
1. Расставьте одну единицу, две двойки, 3 тройки, 4 четверки, 5 пятерок, 6 шестерок, 7 семерок и 8 восьмерок в клетках квадрата 6х6 так, чтобы во всех строках была одна и та же сумма цифр.
2. Расположите на плоскости 24 спички так, чтобы они образовали как можно больше различных квадратов. Укажите в ответе число этих квадратов.
3. Найдите все пары натуральных чисел А и В, для которых В─ВВ)2─(2В)2=2009 .
4. У двух различных треугольников попарно равны все углы и две пары сторон. Длины этих сторон (из разных пар) относятся друг к другу как 4:5. Найдите отношение площадей этих треугольников.
5. Однажды в феврале было пять пятниц. В каких месяцах того же года было по пять воскресений?
6. Два карандаша стоят ровно столько же, сколько фломастер и авторучка вместе взятые, а 16 фломастеров стоят дороже девяти карандашей и десяти авторучек (вместе взятых). Кирилл купил 23 фломастера, а Михаил - 29 авторучек. Кто из мальчиков потратил больше денег?
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments