Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Задачи 9 класса (для тренировки и обсуждения)

2001 год
1. Внутри многоугольника произвольно выбраны две точки A и B .
Докажите, что найдется такая вершина P этого многоугольника,
что точка B содержится внутри круга с диаметром AP .
2. Найдите все пары натуральных чисел x и y , для которых

x(xx+y)(xx-yy)=2001
3. Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда на каждой стороне оказываются по 11, 13, 16 или 21 бусинке.
Какое наименьшее число бусинок может содержать ожерелье?
4. Квадратные трехчлены P(x) и Q(x) не имеют нулевых коэффициентов и не пропорциональны друг другу. Сколько ненулевых коэффициентов после раскрытия скобок и приведения подобных членов может иметь многочлен
F(u,v)=P(u)Q(v)-P(v)Q(u) ?
5. Юра заявил, что он перемножил две разных пары трехзначных чисел, совокупная запись которых содержит только две различных цифры (например, 222 на 333 и 232 на 323), и оба раза получил одинаковые результаты. Павел возразил, что такого не может быть. Тогда Юра добавил, что он выполнял действия не в десятичной системе счисления.
Докажите, что он все-таки ошибся.
6. Сколько граней может иметь пересечение двух параллелепипедов?



2002 год
1. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 9 ? на 99 ? на 999 ?
2. Через центр O правильного пятиугольника ABCDE проведена прямая, параллельная стороне AB. Обозначим через P точку ее пересечения со стороной BC.
Докажите, что BP•BC=OA2 .
3. Банк покупает доллары у клиентов по 31 рублю, а продает за 32 рубля, покупает евро по 27 рублей, а продает за 28 рублей. У одного из двух братьев есть пачка купюр евро, а у другого – долларов.
В каком соотношении они должны поменять доллары на евро друг другу, чтобы оба могли считать обмен справедливым?
4. Натуральные числа m и n таковы, что mk+nk делится на mn при некотором целом k .
Может ли наименьшее такое k оказаться равным 2002 ?
5. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник, длины всех сторон которого – целые числа?
6. Назовем волшебным многоугольник, у которого все окружности, построенные на его сторонах, как на диаметрах, имеют общую точку.
Может ли волшебный многоугольник иметь 2002 стороны?



2003 год
1. На стороне AC треугольника ABC взяты точки K и L такие, что AK=CL, а на сторонах AB и BC – точки M и N такие, что MN и AC параллельны. Докажите, что точка P пересечения прямых MK и NL лежит на медиане треугольника ABC или на ее продолжении.
2. Можно ли расставить в квадрате 5х5 числа от 1 до 25 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была бы простым числом?
3. На кольцевом троллейбусном маршруте движение начинается в 6.00 и заканчивается в 21.00. В норме машины следуют с равными интервалами по 15 минут и проходят кольцо ровно за 1 час. Однажды из-за ремонта на одной из улиц образовалась пробка, на прохождение которой троллейбусы тратили по 25 минут вместо обычных 5 минут. Каким оказался средний интервал движения на маршруте в этот день?
4. Произведение двух составных чисел оказалось ровно на 2003 больше их суммы. Найдите эти числа.
5. Четыре точки плоскости попарно соединили друг с другом. Какое наибольшее число из всех образованных ими углов могут оказаться равными друг другу?
6. Если последние три цифры числа 2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется Санкт-Петербургу в мае 2003 года. В каком из веков истории Санкт-Петербурга дат с таким свойством больше: в одном из трех прошедших или в наступающем?



2004 год
1. Вы видите, как на стенке то появляются, то исчезают светящиеся трёхзначные числа. На стене написано, что каждое следующее число — это три последние цифры произведения двух предыдущих чисел. Вспыхивает число 995, после этого — ещё несколько чисел, которых Вы не запомнили, затем появляется 998.
Можно ли верить надписям на стенах?
2. Лев построил ломаную OA1A2A3…A2004 , все звенья которой равны 1, причем каждое звено AkAk+1 перпендикулярно соответствующему радиусу OAk .
Найдите длину последнего радиуса OA2004 .
3. Известно, что уравнение x3-px2+qx-1=0 имеет 3 различных положительных корня.
Докажите, что произведение коэффициентов p и q этого уравнения не может быть меньше 9.
4. На плоскости построены несколько окружностей, никакие две из которых не пересекаются (но какие-то могут лежать внутри других). Назовем две окружности соседними, если на каждой из них можно выбрать по точке, отрезок между которыми не имеет общих точек ни с одной из остальных окружностей. Для каждой из построенных окружностей сосчитали число соседних с ней.
Могла ли сумма всех этих чисел оказаться равной 2004 ?
5. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) .
Чему в новой алгебре Льва равно 2 во второй степени?
6. Существует ли треугольник, длины всех сторон которого – целые числа, одна из них равна 2004, но площадь треугольника меньше 1 ?



2005 год
1. Множество А состоит из натуральных чисел, ни сумма, ни разность никаких двух из которых не делятся на 2005.
Каково максимально возможное число элементов такого множества А?
2. Найдите наименьшее натуральное число, запись которого в трех разных системах счисления содержит ровно две единицы и несколько нулей (не менее одного).
3. На плоскости выбраны три точки.
Постройте три попарно касающиеся окружности с центрами в этих точках.
4. Назовем средним антигеометрическим двух чисел квадратный корень из их неполного квадрата разности.
Докажите, что среднее арифметическое положительных чисел всегда лежит между средним геометрическим и средним антигеометрическим этих же чисел.
5. Ник сумел сложить квадрат из нескольких копий одного и того же разностороннего треугольника.
Какое наименьшее число копий он мог для этого использовать?
6. Назовите уже прошедшую дату (год, месяц, число), которую от 24 января 2005 года отделяют ровно 31 год, 31 месяц, 31 неделя и 31 день.



2006 год
1. Лев записал в таблицу 9х9 целые числа. Оказалось, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в клетки, имеющие с данной общую вершину или сторону. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
2. Разбейте 2006 в сумму как можно меньшего числа квадратов натуральных чисел.
3. Лев хочет раскрасить все точки плоскости в несколько цветов так, чтобы на каждой окружности отсутствовали точки хотя бы одного из использованных им цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется для такой раскраски?
4. Докажите, что х2006+х+1 можно разложить в произведение двух многочленов (выше первой степени) с целыми коэффициентами.
5. Длины двух сторон треугольника зафиксированы, а третья может меняться. В каком случае радиус окружности, описанной вокруг такого треугольника, окажется минимально возможным?
6. Найдите все корни уравнения (х+6)(х2–3)=2006 .




2007 год
1. Лугопарк имеет форму квадрата 12х12км, разбитого на три полосы, шириной по 4км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая - песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12км/час, по снегу 4км/час, а по песку - 3 км/час. Лыжник бежит по льду со скоростью 3км/час, по снегу 12км/час, а по песку - 4 км/час. Атлет бежит по льду со скоростью 4км/час, по снегу 3км/час, а по песку - 12км/час. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?
2. В треугольник, длины всех сторон которого измеряются целыми числами, вписан круг радиуса 1. Достаточно ли этой информации для нахождения длин сторон?
3. Катя нашла наименьшее из натуральных чисел, у которых сумма цифр равна 2007. Чему равна сумма цифр следующего за ним числа?
4. Найдите такие натуральные m и n, что (m-n2)(m2-2n)=2007 .
5. В момент, когда Аня и Ира зашли на встречные эскалаторы, они оказались на ступеньках под одинаковыми номерами. Затем обе девочки шагали по ходу движения и в момент схода они снова оказались на ступеньках под одинаковыми номерами. Ступеньки обоих эскалаторов занумерованы снизу вверх (после последнего номера идет первый). Могло ли еще один раз произойти совпадение номеров ступенек, на которых в тот момент находились Аня и Ира?
6. Два игрока по очереди ставят цифры от 1 до 9 в свободные клетки квадрата 9х9. Тот, кто ставит первую цифру, может ставить только нечетные цифры. Он стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом из 9 квадратов 3х3, на которые разбивается основной квадрат, все 9 цифр оказались различными. Второй может ставить только четные цифры или 9. Он старается помешать первому, однако не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?




2008 год
1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 9. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. В каждой вершине невыпуклого многоугольника Вася измерил угол между лучами, на которых лежат стороны. Сумма всех углов оказалась равна 2008°. При каком наименьшем числе сторон многоугольника такое могло случиться?
3. Можно ли так расположить на плоскости 9 отрезков, чтобы каждый из них пересекался со всеми остальными, кроме какого-то одного?
4. Учитель сочиняет квадратное уравнение, абсолютные величины коэффициентов которого равны либо 1, либо 2008. Помогите ему выбрать коэффициенты так, чтобы сумма кубов корней уравнения была как можно больше.
5. Окружности радиусов 3, 4 и 5 имеют общую точку, а вторые точки их попарного пересечения лежат на одной прямой. Сколькими способами из отрезков, соединяющих точки пересечения можно выбрать пару взаимно перпендикулярных?
6. Существует ли многоугольник, периметр и площадь которого равны 2008?




2009 год
1. Расставьте 4 четверки, 5 пятерок, 6 шестерок, 7 семерок, 8 восьмерок, 9 девяток и 10 троек в клетках квадрата 7х7 так, чтобы во всех строках была одна и та же сумма цифр.
2. Даны две концентрические окружности. В большей из них провели хорду, которая оказалась касательной для меньшей окружности. Найдите площадь кольца между окружностями, зная, что длина этой хорды равна 9.
3. Найдите все пары натуральных чисел А и В, для которых В─В2)2─(2В)2=2009 .
4. У двух различных треугольников попарно равны все углы и две пары сторон. Длины этих сторон (из разных пар) относятся друг к другу как 4:5. Найдите отношение площадей этих треугольников.
5. Найдите все натуральные числа, равные сумме квадратов своих цифр.
6. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат 9х9. Проведите через его вершины замкнутую ломаную без самопересечений, все остальные вершины которой тоже лежали бы в узлах сетки, а площадь ограниченной ею фигуры была бы как можно меньше.

Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments