Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Задачи 10 класса (для тренировки и обсуждения)

2001 год
1. Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда число сторон равно 3, 4, 5 или 6, причем всегда в вершинах оказываются бусинки разных цветов.
Найдите наименьшее возможное число различных по цвету бусинок.
2. Петр выписал на доску 77 приведенных квадратных трехчленов и проверил, что ни один из них не имеет (действительных) корней.
Докажите, что и сумма этих трехчленов также не имеет корней.
3. Репдиджитом в некоторой системе счисления называется число, запись которого в этой системе счисления состоит из одинаковых цифр (более одной). Например, десятичное число 2001 является репдиджитом в системе счисления с основанием 666.
Проверьте это и найдите основания еще трех систем счисления, в которых 2001 является репдиджитом.
4. Решите в неотрицательных числах систему:
x3=2y2-z
y3=2z2-x
z3=2x2-y
.
5. В пространстве дан (косоугольный) параллелепипед единичного объема.
Докажите, что расстояние между какими-то его двумя вершинами не меньше √3 .
6. Какое наибольшее число шаров могут попарно (каждый с каждым) касаться друг друга (внешним образом)?



2002 год
1. Сколько существует различных тетраэдров с вершинами в вершинах данного куба?
2. Банк покупает доллары у клиентов по 31 рублю, а продает за 32 рубля, покупает евро по 27 рублей, а продает за 28 рублей. У одного из двух братьев есть пачка купюр евро, а у другого – долларов.
В каком соотношении они должны поменять доллары на евро друг другу, чтобы оба могли считать обмен справедливым?
3. Многочлен P(x,y,z) относительно каждой из трех переменных имеет степень 1000, а относительно каждой пары переменных – степень 1500.
Может ли он по совокупности всех трех переменных иметь степень 2002 ?
4. На сторонах правильного шестиугольника во внутреннюю его сторону построены 6 квадратов.
Докажите, что 12 новых вершин образуют правильный 12-угольник.
5. Некоторое число записали в системе счисления с основанием 2002. Оказалось, что при этом были использованы все возможные цифры, причем каждая по одному разу.
Может ли это число быть простым?
6. На саммит приехали 19 президентов. Организаторы знают, что каждый из них свободно говорит на каких-то трех из шести официальных языков ООН, но не знают, кто на каких именно. Организаторы планируют проведение пресс-конференций, на каждой из которых будет только один рабочий язык.
Какое наименьшее число пресс-конференций нужно провести, чтобы каждый президент смог участвовать хотя бы в одной из них без переводчика?



2003 год
1. Какое наибольшее число точек можно расположить на данной окружности так, чтобы во всех образованных ими треугольниках ни один из углов не был меньше 25° ?
2. Можно ли числа от 1 до 100 так расставить в квадрате 10х10, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была бы простым числом?
3. Если последние три цифры числа 2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется Санкт-Петербургу в мае 2003 года. В каком из веков в III тысячелетии больше всего лет с таким же свойством?
4. На стороне AC треугольника ABC взяты точки K и L такие, что AK=CL, а на сторонах AB и BC – точки M и N такие, что MN и AC параллельны. Докажите, что точка P пересечения прямых MK и NL лежит на медиане треугольника ABC или на ее продолжении.
5. Представьте число 2003 в виде суммы кубов натуральных чисел, взяв для этого как можно меньшее число слагаемых.
6. Если на плоском листе провести 4 прямые общего положения, то на получившемся чертеже можно найти 4 различных треугольника. Какое наименьшее число прямых нужно провести, чтобы на получившемся чертеже можно было найти 2003 различных треугольника?



2004 год
1. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) .
Чему в новой алгебре Льва равно 2 в третьей степени?
2. Существует ли треугольник, длины всех сторон которого – целые числа, одна из них равна 2004, но площадь треугольника меньше 1000 ?
3. Известно, что уравнение x3-px2+qx-1=0 имеет 3 различных положительных корня.
Докажите, что произведение коэффициентов p и q этого уравнения не может быть меньше 9.
4. На плоскости провели несколько прямых, в результате чего она разбилась на многоугольные области. Вершинами этих областей являются точки пересечения проведенных прямых, а сторонами – отрезки (между вершинами), лучи (выходящие из вершин), либо (в исключительных случаях) целые прямые. В каждую область записали число ограничивающих ее сторон. Оказалось, что сумма записанных чисел равна 2004.
Каким в этом случае могло быть число прямых?
5. Найдите все пары натуральных чисел A и B, для которых справедливо равенство
AB-AAB=2004 .
6. Для каждого натурального N через P(N) обозначим число целочисленных решений уравнения
x2+y2=N .
Сколько цифр имеет десятичная запись числа
P(1)+P(2)+P(3)+…+P(2003)+P(2004) ?



2005 год
1. Найдите наименьшее натуральное число, запись которого в трех разных системах счисления содержит ровно две единицы и несколько нулей (возможно, ни одного).
2. На плоскости выбраны три точки, не лежащие на одной прямой.
Всегда ли и сколькими способами можно построить три попарно касающиеся окружности с центрами в этих точках?
3. Каждую вершину выпуклого пятиугольника соединили отрезком с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, образованного оставшимися вершинами.
Можно ли утверждать, что пять проведенных отрезков всегда пересекутся в одной точке?
4. Дан правильный тетраэдр (треугольная пирамида, все 6 ребер которой равны друг другу). Разрешается от одной из вершин «отпилить» кусок в форме треугольной пирамиды (не обязательно правильной).
Может ли сумма длин всех ребер уменьшиться в результате этого действия?
5. Назовем средним антигеометрическим двух чисел квадратный корень из их неполного квадрата разности.
Докажите, что среднее антигеометрическое не может быть меньше арифметического этих же чисел.
6. Назовите уже прошедшую дату (год, месяц, число), которую от 24 января 2005 года отделяют ровно 30 лет, 30 месяцев, 30 недель и 30 дней.



2006 год
1. Лев записал в таблицу 10х10 целые числа. Оказалось, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в клетки, имеющие с данной общую вершину, но не имеющие с ней общей стороны. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
2. Существует ли ромб, площадь и длины каждой из сторон которого равны 2006 ?
3. Разбейте 2006 в сумму как можно меньшего числа кубов натуральных чисел.
4. Лев хочет раскрасить все точки плоскости в несколько цветов так, чтобы на каждой окружности отсутствовали точки хотя бы одного из использованных им цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется для такой раскраски?
5. Длины двух сторон треугольника зафиксированы, а третья может меняться. Чему она равна в случае, когда радиус окружности, описанной вокруг такого треугольника, становится минимально возможным?
6. Может ли иметь 2006-угольное сечение многогранник, у которого нет ни одного треугольного сечения?



2007 год
1. Лугопарк имеет форму квадрата 12х12км, разбитого на три полосы, шириной по 4км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая - песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12км/час, по снегу 4км/час, а по песку - 3 км/час. Лыжник бежит по льду со скоростью 3км/час, по снегу 12км/час, а по песку - 4 км/час. Атлет бежит по льду со скоростью 4км/час, по снегу 3км/час, а по песку - 12км/час. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?
2. Можно ли в квадрате 7х7 поместить 100 правильных треугольников со стороной 1?
3. Назовем почтипараллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почтипараллелограмма?
4. Петя последовательно выписывает натуральные числа от 1 до n в системе счисления с основанием k, ищет их общую сумму цифр S(n,k) и проверяет, не окажется ли она равной 2007. Меняя k, из подходящих вариантов он оставляет только те, в которых n окажется наименьшим возможным. При каких k это случится?
5. Сколько целых корней имеет уравнение 3(х+7)/243+132|x+4|)=2007 ?
6. Два игрока по очереди ставят цифры в свободные клетки квадрата 9х9. Тот, кто ставит первую цифру, стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом из 9 квадратов 3х3, на которые разбивается основной квадрат, все 9 цифр оказались различными. Второй старается помешать первому. Однако он не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?



2008 год
1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 10. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. На чертеже провели стороны, диагонали и все средние линии параллелограмма. Затем буквами обозначили концы и пересечения проведенных отрезков. Сколькими способами можно выбрать трой ку букв, соответствующие которым точки лежат на одной прямой?
3. Постройте треугольник, длины сторон которого измеряются различными целыми числами, а один из углов равен 60°. Докажите, что существует бесконечно много таких треугольников, не подобных между собой.
4. Постройте на координатной плоскости Opq множество точек (p;q), отвечающих трехчленам x2+px+q, разность корней которых равна 2008.
5. Астероид имеет форму параллелепипеда. В двух его противоположных вершинах находятся одинаковые волки. Каждый волк контролирует ту часть поверхности, в пределах которой он может добежать в любую точку быстрее своего антипода. При каком соотношении между размерами параллелепипеда в распоряжении каждого волка целиком окажется какая-то из граней?
6. Сколько цифр содержит десятичная запись числа 20082008 ?



2009 год
1. Расставьте 4 четверки, 5 пятерок, 6 шестерок, 7 семерок, 8 восьмерок, 9 девяток и 10 троек в клетках квадрата 7х7 так, чтобы во всех строках была одна и та же сумма цифр.
2. Даны две концентрические окружности. В большей из них провели хорду, которая оказалась касательной для меньшей окружности. Найдите площадь кольца между окружностями, зная, что длина этой хорды равна 10.
3. Найдите все натуральные М, для которых (7√ММ)√М─(√М)М=2009 .
4. Кратчайшей между двумя точками на поверхности куба называется ломаная наименьшей длины с концами в этих точках, целиком лежащая на поверхности куба (в случае точек из одной грани это будет отрезок). Треугольником на поверхности куба называют наименьшую по площади область на поверхности куба, границей которой служат кратчайшие, попарно соединяющие три точки. Какое наибольшее число вершин куба может оказаться внутри треугольника на его поверхности?
5. Найдите все натуральные числа, равные сумме квадратов своих цифр.
6. Окружность радиуса r с центром в точке (p;q) на координатной плоскости пересекает параболу y=ax2+bx+c в четырех различных точках. Докажите, что через те же 4 точки проходит еще одна парабола. Составьте её уравнение.

Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 1 comment