Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Category:

Задачи 11 класса (для тренировки и обсуждения)

2001 год
1 Найдите все x , для которых
(77—6x)(x2+x—3)=2001 .
2. Найдите все натуральные n , при которых

(2n2+3n+9)! делится на (3n2-4n-9)!

3. Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда на каждой стороне оказываются по 7, 11, 13 или 16 бусинок, причем всегда в вершинах оказываются бусинки разных цветов.
Найдите наименьшее возможное число различных по цвету бусинок.
4. Репдиджитом в некоторой системе счисления называется число, запись которого в этой системе счисления состоит из одинаковых цифр (более одной).
Докажите, что для любого натурального n существует число, которое является репдиджитом не менее, чем в n различных системах счисления.
5. Внутри выпуклого многогранника произвольно выбрана точка.
Докажите, что она лежит хотя бы в одном из шаров, построенных, как на диаметрах, на ребрах и диагоналях этого многогранника.
6. Дан многочлен F(u,v)=P(u)Q(v)—P(v)Q(u) , где P(x) и Q(x) — не пропорциональные друг другу многочлены 2001-ой степени, в составе каждого из которых только по пять ненулевых слагаемых.
Какое наименьшее число ненулевых коэффициентов может иметь многочлен F(u,v) после раскрытия скобок и приведения подобных членов ?


2002 год
1. Банк покупает доллары у клиентов по 31 рублю, а продает за 32 рубля, покупает евро по 27 рублей, а продает за 28 рублей. У одного из двух братьев есть пачка купюр евро, а у другого – долларов.
В каком соотношении они должны поменять доллары на евро друг другу, чтобы оба могли считать обмен справедливым?
2. Игра «Крестики втроем» отличается от известных «крестиков-ноликов» тем, что в нее играют три игрока, причем все трое ставят одинаковые крестики. Как и обычно, крестик можно поставить в любую свободную клетку квадрата 3х3, ходы делают по очереди, а выигрывает тот из игроков, кто сумеет поставить три крестика на одной прямой (вертикали, горизонтали или диагонали).
Есть ли у первого игрока возможность наверняка победить в этой игре?
3. Выпуклый многогранник имеет ровно 2002 ребра.
Докажите, что у него есть 4 вершины, лежащие в одной плоскости.
4. Сколько существует попарно неравных тетраэдров с вершинами в вершинах данного куба?
5. Простое число p записали в системе счисления с основанием d. Оказалось, что при этом в его записи были использованы все возможные цифры, причем каждая ровно по одному разу.
Найдите все такие пары (p, d).
6. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 20022002 ?



2003 год
1. Если последние три цифры числа 2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется Санкт-Петербургу в мае 2003 года. Сколько еще раз в III тысячелетии наступит год с таким же свойством?
2. На продолжении стороны AB прямоугольника ABCD отложен отрезок BE=BC.
Докажите, что проходящий через точку C перпендикуляр к прямой BD, восставленный в точке E перпендикуляр к прямой BE и биссектриса угла A пересекаются в одной точке.
3. Фокусница Ната придумала многочлен P(x) , при подстановке в который вместо x натуральных чисел от 1 до 2002 получаются числа, делящиеся на 2003, тогда как P(2003) не делится на 2003. Раскройте секрет ее фокуса.
4. Какое наибольшее число точек можно расположить в пространстве так, чтобы во всех образованных ими треугольниках ни один из углов не был меньше 60° ?
5. Можно ли расставить в квадрате 25х25 числа от 1 до 625 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была бы простым числом?
6. Найдите длину отрезка, являющегося множеством значений функции
f(x)=(x2+ax+1)/(x2+bx+1) , где |b|<2 .



2004 год
1. Обозначим через Pn(x) произведение двучленов
x-1 , x2-2 , … , xn-n .
Найдите все такие n , при которых уравнение
Pn(x)=2004 имеет целый корень.
2. Известно, что углы A и B – острые и удовлетворяют двум уравнениям: sinB=tg2A и tgB=cos3A .
Выразите угол A в градусах.
3. Правильным тетраэдром называется треугольная пирамида, все 6 ребер которой равны друг другу. Пусть точка K – середина ребра CD правильного тетраэдра ABCD. В плоскости ABK построена окружность, касающаяся луча KA в точке A, а луча KB в точке B. Через EF обозначен параллельный AB диаметр этой окружности.
Найдите величину угла EKF.
4. Для каждого натурального N через P(N) обозначим число целочисленных решений уравнения
x2+y2=N .
Сколько цифр имеет десятичная запись числа
P(1)+P(2)+P(3)+…+P(2003)+P(2004) ?
5. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) .
Существуют ли в новой алгебре Льва такие различные положительные числа X и Y, для которых равны произведения X на Y и Y на X ?
6. Докажите для x>0 неравенство arctgx>x/(1+x2) .




2005 год
1. Может ли производная произведения двух непостоянных функций равняться произведению их производных?
2. Четыре сферы попарно касаются друг друга.
Могут ли их радиусы выражаться последовательными натуральными числами?
3. На плоскости выбраны три точки, не лежащие на одной прямой.
Всегда ли и сколькими способами можно построить три попарно касающиеся окружности с центрами в этих точках?
4. Дан правильный тетраэдр (треугольная пирамида, все 6 ребер которой равны друг другу). Разрешается от одной из вершин «отпилить» кусок в форме треугольной пирамиды (не обязательно правильной).
Может ли сумма длин всех ребер увеличиться в результате этого действия?
5. Назовите уже прошедшую дату (год, месяц, число), которую от 24 января 2005 года отделяют ровно 31 год, 30 месяцев, 29 недель и 28 дней.
6. Алекс написал на карточках числа от 0 до 99999. Затем на карточках, отвечающих числам, меньшим 10000, он приписал впереди столько нулей, чтобы на каждой карточке оказалось ровно 5 цифр. Он хочет выложить эти карточки друг за другом так, чтобы полученное 500000-значное число не делилось на 41.
Сможет ли он так сделать?




2006 год
1. Лев записал в таблицу 11х11 целые числа. Оказалось, что каждое число равно сумме чисел, записанных в клетки, имеющие с данной общую вершину или сторону. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
2. Существует ли 2006-угольник, площадь и длины каждой из 2006 сторон которого равны 2006 ?
3. Лев хочет раскрасить все точки пространства в несколько цветов так, чтобы на каждой сфере отсутствовали точки хотя бы одного из использованных им цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется для такой раскраски?
4. Длины двух сторон треугольника зафиксированы, а третья может меняться. Чему равен минимально возможный радиус окружности, описанной вокруг такого треугольника?
5. Найдите наименьшее натуральное число С, для которого не существует таких натуральных чисел А и В, что АВ+АС+ВС=2006 .
6. Верно ли, что если 0<x<1 , то 6(6xx3)– (6xx3)3>4(4x+x3)+ (4x+x3)3 ?




2007 год
1. Лугопарк имеет форму квадрата 12х12км, разбитого на три полосы, шириной по 4км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая - песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12км/час, по снегу 4км/час, а по песку - 3 км/час. Лыжник бежит по льду со скоростью 3км/час, по снегу 12км/час, а по песку - 4 км/час. Атлет бежит по льду со скоростью 4км/час, по снегу 3км/час, а по песку - 12км/час. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?
2. Можно ли в квадрате 13х13 поместить 375 правильных треугольников со стороной 1?
3. Назовем почтипараллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почтипараллелограмма?
4. Существует ли функция, значения которой и её 2007 производных при х=2007 равны 2007?
5. Сферы радиусов 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник, образованный их центрами.
6. Два игрока по очереди ставят цифры в свободные клетки квадрата 9х9. Тот, кто ставит первую цифру, может ставить только нечетные цифры. Он стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом из 9 квадратов 3х3, на которые разбивается основной квадрат, все 9 цифр оказались различными. Второй может ставить только четные цифры и старается помешать первому. Однако он не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?



2008 год
1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 11. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. Не пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,001 стороны прямоугольника, периметр и площадь которого равны 2008.
3. Постройте треугольник, длины сторон которого измеряются различными целыми числами, а один из углов равен 60°. Докажите, что существует бесконечно много таких треугольников, не подобных между собой.
4. Известно, что значения двух многочленов не совпадают ни в одной точке, кроме двух их общих корней. Какое наименьшее число корней может иметь производная их произведения?
5. Существует ли многогранник, объем, площадь поверхности и сумма длин всех ребер которого равны 2008?
6. Какое наибольшее число граней правильного икосаэдра может пересечь плоскость?



2009 год
1. Расставьте 4 четверки, 5 пятерок, 6 шестерок, 7 семерок, 8 восьмерок, 9 девяток и 10 троек в клетках квадрата 7х7 так, чтобы во всех строках была одна и та же сумма цифр.
2. Даны две концентрические окружности. В большей из них провели хорду, которая оказалась касательной для меньшей окружности. Найдите площадь кольца между окружностями, зная, что длина этой хорды равна 2009.
3. Найдите все натуральные М, для которых (7√М─М)√М─(М)√М=2009 .
4. Кратчайшей между двумя точками на поверхности куба называется ломаная наименьшей длины с концами в этих точках, целиком лежащая на поверхности куба (в случае точек из одной грани это будет отрезок). Треугольником на поверхности куба называют наименьшую по площади область на поверхности куба, границей которой служат кратчайшие, попарно соединяющие три точки. Какую наибольшую площадь может иметь треугольник на поверхности куба с ребром длины 1 ?
5. Приведите пример двух функций f(x) и g(x) , одна из которых монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, для которых равенство f(sin(g(x)))=g(sin(f(x))) имеет смысл и выполняется при любом вещественном х.
6. Производные многочленов P(x) и Q(x) нацело делятся на x2009 . Докажите, что таким же свойством обладает и их произведение.

Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments