Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Categories:

Задачи 12 класса (для тренировки и обсуждения)

2004 год
1. Что на самом деле обозначено буквой C в известной формуле
?
2. Лев построил ломаную OA1A2A3…A10000 , все звенья которой равны 1, причем каждое звено AkAk+1 перпендикулярно соответствующему радиусу OAk .
Найдите длину последнего радиуса OA10000 .
3. Опишите множество всех таких функций f(x) , для которых при любом вещественном x выполняется равенство
f(x2)+f((x+1)2)=f((x+2)2) .
4. Правильным тетраэдром называется треугольная пирамида, все 6 ребер которой равны друг другу. Пусть точка K – середина ребра CD правильного тетраэдра ABCD. В плоскости ABK построена окружность, касающаяся луча KA в точке A, а луча KB в точке B. Через EF обозначен параллельный AB диаметр этой окружности.
Найдите величину угла EKF.
5. Для каждого натурального N через P(N) обозначим число целочисленных решений уравнения
x2+y2=N .
Сколько цифр имеет десятичная запись числа
P(1)+P(2)+P(3)+…+P(2003)+P(2004) ?
6. Магазин продает компьютер в кредит на следующих условиях. В день покупки покупатель платит 1800 рублей, которые составляют 20% от полной цены. Затем в последний день каждого из 12 последующих месяцев (начиная со дня покупки) он платит по 777 рублей.
С точностью до 1% найдите, под какой среднегодовой процент магазин кредитует таких покупателей.





2005 год
1. Может ли квадрат производной непостоянной функции равняться производной от ее квадрата?
2. Множество А состоит из натуральных чисел. Ни для какого его подмножества сумма элементов не делится на 2005.
Каково максимально возможное число элементов такого множества А?
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое в четырех системах счисления записывается (разными) парами одинаковых цифр.
4. Четыре сферы попарно касаются друг друга.
Могут ли их радиусы выражаться натуральными числами?
5. Петр хочет построить такой чертеж из нескольких окружностей на плоскости, чтобы каждые две из них имели ровно одну общую точку, но при этом никакая точка не была бы общей сразу для трех окружностей.
Каково максимально возможное число окружностей на таком чертеже?
6. Назовите уже прошедшую дату (год, месяц, число), которую от 24 января 2005 года отделяют ровно 31 год, 29 месяцев, 27 недель и 25 дней.



2006 год
1. Лев записал в таблицу 12х12 целые числа. Оказалось, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в клетки, имеющие с данной общую вершину, но не имеющие с ней общей стороны. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
2. Найдите наибольшее натуральное число С, для которого существуют такие натуральные числа А и В, что АВ+АС+ВС=2006 .
3. Лев хочет раскрасить все точки пространства в несколько цветов так, чтобы на каждой сфере отсутствовали точки хотя бы одного из использованных им цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется для такой раскраски?
4. Длины двух сторон треугольника зафиксированы, а третья может меняться. Чему равен минимально возможный радиус окружности, описанной вокруг такого треугольника?
5. На Новый год Льву подарили чудо-компьютер. Если в компьютер ввести функцию, то он вычисляет значение определенного интеграла от 2006-ой степени этой функции по промежутку от 0 до 10. Лев сначала ввел sinx , а затем соsx . Какое из двух выданных компьютером чисел больше и сколь велика разность между ними?
6. Верно ли, что если 0<x<1 , то 6(6xx3)– (6xx3)3>4(4x+x3)+ (4x+x3)3 ?




2007 год
1. Лугопарк имеет форму квадрата 12х12км, разбитого на три полосы, шириной по 4км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая - песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12км/час, по снегу 4км/час, а по песку - 3 км/час. Лыжник бежит по льду со скоростью 3км/час, по снегу 12км/час, а по песку - 4 км/час. Атлет бежит по льду со скоростью 4км/час, по снегу 3км/час, а по песку - 12км/час. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?
2. В треугольник, длины всех сторон которого измеряются целыми числами, вписан круг радиуса 1. Достаточно ли этой информации для нахождения длин сторон?
3. Назовем почтипараллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почтипараллелограмма?
4. Существует ли функция, значения которой и её 2007 производных при х=2007 равны 2007?
5. Накануне Нового года брокеры Иванов и Петров купили одинаковые пакеты акций ООО "Газилла". Затем на протяжении всего года, кроме выходных на бирже суббот, воскресений, 29, 30 и 31 чисел каждого месяца, по четным датам Иванов продавал 1 пакет брокеру Петрову, а по нечетным выкупал у него этот или другой такой же пакет. По окончании года оба брокера продали бирже оставшиеся у них пакеты. Все сделки проводились строго по курсовой стоимости (без каких-либо вычетов). Статистики заметили, что каждый понедельник акции росли в цене на 10% в сравнении с предыдущим торговым днем, каждую среду на 11% и каждую пятницу на 30%. Зато каждый вторник акции падали в цене на 30%, а каждый четверг - на 10%. Кто из этих двух брокеров больше заработал по итогам года?
6. Два игрока по очереди ставят цифры от 1 до 9 в свободные клетки квадрата 9х9. Тот, кто ставит первую цифру, стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом из 9 квадратов 3х3, на которые разбивается основной квадрат, все 9 цифр оказались различными. Второй старается помешать первому. Однако он не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?



2008 год
1. Двое детей по очереди (пропускать ход нельзя!) выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на столе (если нужное число фишек еще осталось в коробочке). Выигрывает тот из них, кто поставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в коробочке – 12. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом?
2. На чертеже провели стороны, диагонали и все средние линии параллелограмма. Затем буквами обозначили концы и пересечения проведенных отрезков. Сколькими способами можно выбрать тройку букв, соответствующие которым точки не лежат на одной прямой?
3. Постройте треугольник, длины сторон которого измеряются целыми числами, а один из углов равен 120°. Докажите, что существует бесконечно много таких треугольников, не подобных между собой.
4. Известно, что значения двух многочленов не совпадают ни в одной точке, кроме двух их общих корней. Какое наименьшее число корней может иметь производная их произведения?
5. Какое наибольшее число граней правильного додекаэдра может пересечь плоскость?
6. Существует ли параллелепипед, объем, площадь поверхности и сумма длин всех ребер которого равны 2008?

(В остальные годы задания для 12 класса не отличались от заданий для 11 класса - см. http://matholimp.livejournal.com/222529.html .)
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments