Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 9 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2010 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/248760.html .


Задача 1
Для того чтобы затраченное время оказалось наибольшим, Человек Рассеянный должен сначала выходить на каждом из промежуточных этажей, а лифт за время его ожидания на каждом этаже должен пройти полный цикл с остановками на каждом этаже при движении как вверх, так и вниз. Половина такого цикла включает 9-1=8 подъёмов (спусков) на один этаж и столько же остановок на этажах, значит, займёт 160 секунд. Полный цикл – 320 секунд.
Так как число промежуточных этажей (без учёта верхнего и нижнего) 9-2=7, то с момента первой посадки в лифт до выхода пройдёт 7 с половиной таких циклов. Ещё один полный цикл нужно добавить на самое первое ожидание лифта (в случае, когда он только что ушёл с верхнего этажа, а Человек Рассеянный не успел в него сесть). Всего в этом наихудшем случае пройдёт 17 полуциклов, то есть Человек Рассеянный затратит на спуск 17∙160=2720 секунд, то есть 45 минут 20 секунд.
Ответ: 2720 секунд.

Задача 2
Так как многоугольники подобны, то их площади относятся как квадраты коэффициентов подобия.
Ответ: 3.

Задача 3
N^2010 + 1 = (N^670)^3 + 1^3 = (N + 1)*((N^670)^2 - N^670 +1)
Если число простое, то оно имеет 2 делителя - 1 и это число, значит если N^2010 + 1 простое, то
N + 1 = 1 или (N^670)^2 - N^670 + 1 = 1
N = 0 или N^670*(N^670 - 1) = 0
N^760 = 0 или N^670 = 1
N=0 или N = 1
Ответ: десятичная запись содержит 1 цифру.

Задача 4
2010+1200+1020+1002+2100+2001=9333
3003+3300+3030=9333
Ответ: суммы равны.

Задача 5
Дано: ABC. AK, CF и BH – медианы. Их длины - 5, 4 и 3 соответственно. О – точка пересечения медиан.
Найти: угол FOB.
Решение. Осуществим параллельный перенос медиан НВ и AK, им соответствуют CL и FL. Перенесённые медианы, вместе с медианой CF, образуют треугольник, длины сторон которого, равняются 3, 4 и 5. Следовательно треугольник FLC – прямоугольный (угол FLC - прямой).
HB параллельно CL , ОС – секущая. Угол FOB равен углу FLC .
Ответ: прямой угол.

Задача 6
Чтобы получить наименьшее число точек пересечения внутри квадрата нужно добиться пересечения в одной точке сразу четырёх отрезков. Для этого точки деления должны разбивать сторону в пропорции золотого сечения.
См. конфигурацию на моём юзерпике!
Ответ: 48 точек.

Задача 7
Ответ: 3, 4, 5 и 6 (легко найти подбором).
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments