Задача 1
Для того, чтобы затраченное время оказалось наибольшим, Человек Рассеянный должен сначала выходить на каждом из промежуточных этажей, а лифт за время его ожидания на каждом этаже должен пройти полный цикл с остановками на каждом этаже при движении как вверх, так и вниз. Половина такого цикла включает 10-1=8 подъёмов (спусков) на один этаж и столько же остановок на этажах, значит, займёт 180 секунд. Полный цикл – 360 секунд или 6 минут.
Так как число промежуточных этажей (без учёта верхнего и нижнего) 10-2=8, то с момента первой посадки в лифт до выхода пройдёт 8 с половиной таких циклов. Ещё один полный цикл нужно добавить на самое первое ожидание лифта (в случае, когда он только что ушёл с верхнего этажа, а Человек Рассеянный не успел в него сесть). Всего в этом наихудшем случае пройдёт 19 полуциклов, то есть Человек Рассеянный затратит на спуск 19∙180=3420 секунд, то есть 51 минуту.
Ответ: 51 минуту.
Задача 2
Так как многоугольники подобны, то их площади относятся как квадраты коэффициентов подобия.
Ответ: : 6.
Задача 3
Если все 10 прямых параллельны одной оси, то нет точек пересечения.
Если 9 прямых параллельны одной оси, то есть 9 точек пересечения.
Если 8 прямых параллельны одной оси, то есть 18 точек пересечения.
Если 7 прямых параллельны одной оси, то есть 21 точек пересечения.
Если 6 прямых параллельны одной оси, то есть 24 точек пересечения.
Если 5 прямых параллельны одной оси, то есть 25 точек пересечения.
Далее количество точек убывает аналогично 1ым пяти случаям, но в обратном порядке.
В случае с 25 точками образуются 16 квадратов 1*1, 9 квадратов 2*2, 4 квадратов 3*3 и одни квадрат 4*4. Сумма этих чисел равна 30.
Ответ: 30.
Задача 4
Для того, чтобы найти площадь данного четырехугольника, разобьем его на треугольники AED, AEB, BEC, CED.
Пусть угол AED = α, тогда площадь четырехугольника равна произведению длин диагоналей и sin(180-α)=sinα .
Значение данного выражения зависит от двух множителей. От значения синуса и значения произведения диагоналей. Максимальное значение синуса 1.
Произведение диагоналей можно оценить через неравенство Коши. Так как сумма диагоналей равна 1, то наибольшее значение произведения диагоналей достигается в случае их равенства и равно ¼.
Следовательно, наибольшее значение площади равно 1/8.
Ответ: 1/8.
Задача 5
По теореме Безу, если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Значит, чтобы найти все различные значения коэффициента p, надо разложить свободный член на множители:
2010=2*3*5*67
По теореме Виета свободный член равен произведению корней.
Отсюда корнями данного уравнения могут быть следующие числа:
1. 2 и 1005, p=-1007
2. 1 и 1010, p=-2011
3. 3 и 670, p=-673
4. 5 и 402, p=-407
5. 67 и 30, p=-97
6. 10 и 201, p=-211
7. 15 и 134, p= -149
8. 335 и 6, p=-341
Легко видеть, что всем восьми случаям соответствуют разные значения р.
Ответ: 8.
Задача 6
Чтобы получить наименьшее число точек пересечения внутри квадрата нужно добиться пересечения в одной точке сразу четырёх отрезков. Для этого точки деления должны разбивать сторону в пропорции золотого сечения.
См. конфигурацию на моём юзерпике!
Ответ: 48 точек.
Задача 7
Т.к. точки A,B,C лежат на осях координат, то треугольники ABO, ACO и BCO прямоугольные.
Треугольники BCO и ACO равные, т.к. у для них CO – общая и их площади равны (площадь – половина произведения сторон). Значит, треугольник ABO – равнобедренный.
Тогда, зная площади треугольников, найдем их гипотенузы.
Ответ: 30.
Journal information