Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 10 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2010 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/248418.html .


Задача 1
Для того, чтобы затраченное время оказалось наибольшим, Человек Рассеянный должен сначала выходить на каждом из промежуточных этажей, а лифт за время его ожидания на каждом этаже должен пройти полный цикл с остановками на каждом этаже при движении как вверх, так и вниз. Половина такого цикла включает 10-1=8 подъёмов (спусков) на один этаж и столько же остановок на этажах, значит, займёт 180 секунд. Полный цикл – 360 секунд или 6 минут.
Так как число промежуточных этажей (без учёта верхнего и нижнего) 10-2=8, то с момента первой посадки в лифт до выхода пройдёт 8 с половиной таких циклов. Ещё один полный цикл нужно добавить на самое первое ожидание лифта (в случае, когда он только что ушёл с верхнего этажа, а Человек Рассеянный не успел в него сесть). Всего в этом наихудшем случае пройдёт 19 полуциклов, то есть Человек Рассеянный затратит на спуск 19∙180=3420 секунд, то есть 51 минуту.
Ответ: 51 минуту.

Задача 2
Так как многоугольники подобны, то их площади относятся как квадраты коэффициентов подобия.
Ответ: : 6.

Задача 3
Если все 10 прямых параллельны одной оси, то нет точек пересечения.
Если 9 прямых параллельны одной оси, то есть 9 точек пересечения.
Если 8 прямых параллельны одной оси, то есть 18 точек пересечения.
Если 7 прямых параллельны одной оси, то есть 21 точек пересечения.
Если 6 прямых параллельны одной оси, то есть 24 точек пересечения.
Если 5 прямых параллельны одной оси, то есть 25 точек пересечения.
Далее количество точек убывает аналогично 1ым пяти случаям, но в обратном порядке.
В случае с 25 точками образуются 16 квадратов 1*1, 9 квадратов 2*2, 4 квадратов 3*3 и одни квадрат 4*4. Сумма этих чисел равна 30.
Ответ: 30.

Задача 4
Для того, чтобы найти площадь данного четырехугольника, разобьем его на треугольники AED, AEB, BEC, CED.
Пусть угол AED = α, тогда площадь четырехугольника равна произведению длин диагоналей и sin(180-α)=sinα .
Значение данного выражения зависит от двух множителей. От значения синуса и значения произведения диагоналей. Максимальное значение синуса 1.
Произведение диагоналей можно оценить через неравенство Коши. Так как сумма диагоналей равна 1, то наибольшее значение произведения диагоналей достигается в случае их равенства и равно ¼.
Следовательно, наибольшее значение площади равно 1/8.
Ответ: 1/8.

Задача 5
По теореме Безу, если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Значит, чтобы найти все различные значения коэффициента p, надо разложить свободный член на множители:
2010=2*3*5*67
По теореме Виета свободный член равен произведению корней.
Отсюда корнями данного уравнения могут быть следующие числа:
1. 2 и 1005, p=-1007
2. 1 и 1010, p=-2011
3. 3 и 670, p=-673
4. 5 и 402, p=-407
5. 67 и 30, p=-97
6. 10 и 201, p=-211
7. 15 и 134, p= -149
8. 335 и 6, p=-341
Легко видеть, что всем восьми случаям соответствуют разные значения р.
Ответ: 8.

Задача 6
Чтобы получить наименьшее число точек пересечения внутри квадрата нужно добиться пересечения в одной точке сразу четырёх отрезков. Для этого точки деления должны разбивать сторону в пропорции золотого сечения.
См. конфигурацию на моём юзерпике!
Ответ: 48 точек.

Задача 7
Т.к. точки A,B,C лежат на осях координат, то треугольники ABO, ACO и BCO прямоугольные.
Треугольники BCO и ACO равные, т.к. у для них CO – общая и их площади равны (площадь – половина произведения сторон). Значит, треугольник ABO – равнобедренный.
Тогда, зная площади треугольников, найдем их гипотенузы.
Ответ: 30.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments