Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 11 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2010 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/248068.html .


Задача 1
Для того, чтобы затраченное время оказалось наибольшим, Человек Рассеянный должен сначала выходить на каждом из промежуточных этажей, а лифт за время его ожидания на каждом этаже должен пройти полный цикл с остановками на каждом этаже при движении как вверх, так и вниз. Половина такого цикла включает 11-1=10 подъёмов (спусков) на один этаж и столько же остановок на этажах, значит, займёт 200 секунд. Полный цикл – 400 секунд.
Так как число промежуточных этажей (без учёта верхнего и нижнего) 11-2=9, то с момента первой посадки в лифт до выхода пройдёт 9 с половиной таких циклов. Ещё один полный цикл нужно добавить на самое первое ожидание лифта (в случае, когда он только что ушёл с верхнего этажа, а Человек Рассеянный не успел в него сесть). Всего в этом наихудшем случае пройдёт 21 полуцикл, то есть Человек Рассеянный затратит на спуск 21∙200=4200 секунд, то есть 70 минут.
Ответ: 70 минут.

Задача 2
Так как многоугольники подобны, то их площади относятся как квадраты коэффициентов подобия.
Ответ: 7.

Задача 3
Пусть n - число плоскостей параллельных оси ox b и перпендикулярных оси oy, m- число плоскостей параллельных оси oy и перпендикулярных оси ox, k- число плоскостей параллельных оси ox и оси oy. Тогда количество переборов в одной из этих плоскостей равно n(n-1)/2, а тогда общее количество переборов это произведение всех трёх однотипных выражений:
n(n-1)m(m-1)k(k-1) , но ещё следует учитывать, что n+m+k=30. Максимальное значение достигается при n=m=k=10. И в конце концов мы получаем количество переборов в 91125
Ответ: 91125.

Задача 4
Так как 2010 делится на 3, то данный многочлен можно разложить на два множителя как сумму кубов.
Так как 2010 делится на 5, то данный многочлен можно разложить на два (других) множителя как сумму пятых степеней.
Комбинируя оба разложения, можно разложить данный многочлен на 4 множителя.

Задача 5
Так как KN средняя линия треугольника ACB, тогда она параллельна основанию AB, а также эта средняя делит медиану CM пополам. Соответственно и все остальные отрезки равны половинам медиан. Тогда медианы равны: AN=26, BK=10, CM=24.
MO параллельна и равна AN, и CO параллельна и равна KB. Нам нужно найти угол между меньшими медианами, а это BSC, а мы найдём угол OCM из треугольника MOC, а сумма этих 2-х углов равна 180.
Угол OCM найдём по теореме косинусов. Получается, что это пифагорова тройка чисел, и тогда этот угол 90 градусов, соответственно и угол BSC также 90 градусов.
Ответ: 90 градусов.

Задача 6
Чтобы получить наименьшее число точек пересечения внутри квадрата нужно добиться пересечения в одной точке сразу четырёх отрезков. Для этого точки деления должны разбивать сторону в пропорции золотого сечения.
См. конфигурацию на моём юзерпике!
Ответ: 48 точек.

Задача 7
Так как в одной из вершин пирамиды все углы прямые, то квадрат площади большей из граней равен сумме квадратов трёх оставшихся.
Ответ: 70.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments