Задача 1
Для того, чтобы затраченное время оказалось наибольшим, Человек Рассеянный должен сначала выходить на каждом из промежуточных этажей, а лифт за время его ожидания на каждом этаже должен пройти полный цикл с остановками на каждом этаже при движении как вверх, так и вниз. Половина такого цикла включает 12-1=11 подъёмов (спусков) на один этаж и столько же остановок на этажах, значит, займёт 220 секунд. Полный цикл – 440 секунд.
Так как число промежуточных этажей (без учёта верхнего и нижнего) 12-2=1, то с момента первой посадки в лифт до выхода пройдёт 10 с половиной таких циклов. Ещё один полный цикл нужно добавить на самое первое ожидание лифта (в случае, когда он только что ушёл с верхнего этажа, а Человек Рассеянный не успел в него сесть). Всего в этом наихудшем случае пройдёт 23 полуцикла, то есть Человек Рассеянный затратит на спуск 23∙220=5060 секунд, то есть 84 минуты 20 секунд.
Ответ: 84 минуты 20 секунд.
Задача 2
Так как многоугольники подобны, то их площади относятся как квадраты коэффициентов подобия.
Ответ: 5.
Задача 3
Решается методом неопределенных коэффициентов.
Ответ: 20102 и -20102.
Задача 4
Невыпуклые четырехугольники могут быть "вогнутыми" и "скрещенными".
Представим четырехугольник ABCD с шарнирами в т. В и С и "легкорастяжимой" стороной AD. Предельным случаем невыпуклости четырехугольника ABCD станет равносторонний треугольник ABC, когда AD0 (AD стремится к нулю).
Второй предельный случай вогнутого четырехугольника, когда мы поворачиваем AB и BC. При этом, максимальное значение AD станет равным 1. Раздвигая стороны дальше мы придем к скрещенному четырехугольнику.
Для скрещенного четырехугольника рассмотрим 3 случая:
а) Стороны пересекаются под прямым углом,
б) Стороны пересекаются под тупым углом,
в) Стороны пересекаются под острым углом.
Объединяя найденные промежутки значений, получаем интервал (0;3).
Ответ: 0≤AD≤3 .
Задача 5
Очевиден случай, когда число записывается двумя единицами. Тогда основание системы счисления р=2010^2010.
Задача 6
Чтобы получить наименьшее число точек пересечения внутри квадрата нужно добиться пересечения в одной точке сразу четырёх отрезков. Для этого точки деления должны разбивать сторону в пропорции золотого сечения.
См. конфигурацию на моём юзерпике!
Ответ: 48 точек.
Задача 7
Так как в одной из вершин пирамиды все углы прямые, то квадрат площади большей из граней равен сумме квадратов трёх оставшихся.
Ответ: 130.