Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 12 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2010 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/247970.html .


Задача 1
Для того, чтобы затраченное время оказалось наибольшим, Человек Рассеянный должен сначала выходить на каждом из промежуточных этажей, а лифт за время его ожидания на каждом этаже должен пройти полный цикл с остановками на каждом этаже при движении как вверх, так и вниз. Половина такого цикла включает 12-1=11 подъёмов (спусков) на один этаж и столько же остановок на этажах, значит, займёт 220 секунд. Полный цикл – 440 секунд.
Так как число промежуточных этажей (без учёта верхнего и нижнего) 12-2=1, то с момента первой посадки в лифт до выхода пройдёт 10 с половиной таких циклов. Ещё один полный цикл нужно добавить на самое первое ожидание лифта (в случае, когда он только что ушёл с верхнего этажа, а Человек Рассеянный не успел в него сесть). Всего в этом наихудшем случае пройдёт 23 полуцикла, то есть Человек Рассеянный затратит на спуск 23∙220=5060 секунд, то есть 84 минуты 20 секунд.
Ответ: 84 минуты 20 секунд.

Задача 2
Так как многоугольники подобны, то их площади относятся как квадраты коэффициентов подобия.
Ответ: 5.

Задача 3
Решается методом неопределенных коэффициентов.
Ответ: 20102 и -20102.

Задача 4
Невыпуклые четырехугольники могут быть "вогнутыми" и "скрещенными".
Представим четырехугольник ABCD с шарнирами в т. В и С и "легкорастяжимой" стороной AD. Предельным случаем невыпуклости четырехугольника ABCD станет равносторонний треугольник ABC, когда AD0 (AD стремится к нулю).
Второй предельный случай вогнутого четырехугольника, когда мы поворачиваем AB и BC. При этом, максимальное значение AD станет равным 1. Раздвигая стороны дальше мы придем к скрещенному четырехугольнику.
Для скрещенного четырехугольника рассмотрим 3 случая:
а) Стороны пересекаются под прямым углом,
б) Стороны пересекаются под тупым углом,
в) Стороны пересекаются под острым углом.
Объединяя найденные промежутки значений, получаем интервал (0;3).
Ответ: 0≤AD≤3 .


Задача 5
Очевиден случай, когда число записывается двумя единицами. Тогда основание системы счисления р=2010^2010.

Задача 6
Чтобы получить наименьшее число точек пересечения внутри квадрата нужно добиться пересечения в одной точке сразу четырёх отрезков. Для этого точки деления должны разбивать сторону в пропорции золотого сечения.
См. конфигурацию на моём юзерпике!
Ответ: 48 точек.

Задача 7
Так как в одной из вершин пирамиды все углы прямые, то квадрат площади большей из граней равен сумме квадратов трёх оставшихся.
Ответ: 130.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments