Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Представление нечётких чисел с помощью информационных систем счисления

Тезисы моего доклада на 2-й секции XIII Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM’2010 - см. http://matholimp.livejournal.com/318722.html ).

Большинство информационных систем счисления [1-4] используют в качестве цифр три буквы латинского алфавита: N, O и P (со значениями –1, 0 и +1). При этом в норме цифра О может встречаться только в самом конце записи числа для указания её «досрочного» конца (при достижении абсолютной точности). С одной стороны, это позволяет обойтись вообще без цифры О и, заменив N и P на 0 и 1 (или наоборот), использовать двоичную запись или обычные компьютерные ячейки (однако не двоичную арифметику, так как смысл цифр здесь совершенно иной).
С другой стороны, появляется возможность нагрузить цифру О новым (дополнительным) смыслом. Например, договоримся, что часть записи числа от начала до первого появления цифры О будет указывать на приближённое значение числа, а после цифры О записывается его погрешность. При этом второе появление цифры О будет означать, что погрешность тоже известна лишь приближённо – со своей погрешностью и т.д. Легко усматривается аналогия этой конструкции с понятием лингвистической переменной Л.А.Заде и способами представления нечётких множеств.
Для простоты рассмотрим случай башенной системы счисления с произвольным основанием d>e1/e (примерно 1.4447). В любой башенной системе счисления одной лишь цифрой O записывается число 0, а двумя цифрами NO и PO – соответственно –1 и +1. В случае большего количества цифр появляется зависимость от значения d. Четыре трёхзначных числа NNO, NPO, PNO, PPO соответственно равны –d, –1/d, 1/d и d, восемь четырёхзначных чисел NNNO, NNPO, NPNO, NPPO, PNNO, PNPO, PPNO и PPPO равны –dd , –d1/d , –1/d1/d , –1/dd, 1/dd , 1/d1/d , d1/d и dd и т.д. Последней цифрой записи всегда является O, а перед ней может идти любая последовательность цифр N и P.
Заметим, что записи без цифры О на конце можно придать смысл обозначения интервала между соседними базовыми точками предыдущего уровня. Так цифра N становится обозначением для множества всех отрицательных чисел, а Р – положительных. Записи NN, NP, PN, PP указывают на открытые интервалы (–∞, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, ∞) и т.д.
Если продолжение записи числа после цифры О имеет смысл погрешности, то, например, РОР станет обозначением интервала (0, 2). Действительно, первая цифра Р говорит о том, что приближённое значение числа равно 1, а вторая, что такова же и погрешность. Если речь идёт о стандартном округлении путём отбрасывания «лишних» цифр, то его результат можно трактовать как равномерно распределённую на этом интервале случайную величину.
Заметим, что стандартный смысл погрешности таков, что она всегда положительна. Это значит, что после цифры О могла бы появиться только цифра Р. Следовательно, возникает дополнительная возможность использовать цифру N в каком-то ином смысле. Например, как среднее значение ошибки при измерении или ином аналогичном действии. Тогда речь будет идти о случайной величине с нормальным (гауссовским) распределением, первая часть записи – её математическое ожидание, а вторая – среднее квадратическое отклонение.
Например, ONP станет обозначением стандартной гауссовской случайной величины, математическое ожидание которой равно нулю, а дисперсия – единице. Действительно, цифра O в начале записи говорит о том, что приближённое значение числа равно 0. Следующая цифра N указывает на то, что погрешность имеет нормальное распределение. Наконец, последняя цифра P=1 – среднее квадратическое отклонение, квадрат которого 12=1 равен дисперсии.
Нетрудно понять, что многократное использование цифры O в одной записи и комбинирование обоих типов погрешности позволяют аппроксимировать нечёткие числа и унимодальные случайные величины.

Литература
1. Баранова Н.В. Вероятностные системы счисления. // Межд. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM–2003. СПб, 2003.
2. Федотов В.П. Башенные системы счисления. // Информационные технологии в образовании. – СПб, РГПУ, 1998.
3. Федотов В.П. Новые системы счисления как альтернатива интервальным вычислениям. // Межд. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM–2003. СПб, 2003.
4. Федотов В.П. О новых системах счисления и их преподавании. // Межд. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM–2005. СПб, 2005.
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments