Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Паркеты на поверхности сферы и плоском торе

Среди читателей моего ЖЖ есть немало любителей геометрии и компьютерной графики. Хочу предложить им сюжет, который в качестве учебно-исследовательской работы я дал некоторым своим студентам ИТМО.

Как известно, на плоскости существуют только три правильных паркета: из правильных треугольников, из квадратов и из правильных шестиугольников. Правильность паркета означает сочетание трёх следующих свойств.
1. У изогонального (вершинно-транзитивного) паркета «равноправны» все вершины. Это значит, что для любых двух вершин существует симметрия паркета, совмещающая первую вершину со второй.
2. У изотоксального (рёберно-транзитивного) паркета «равноправны» все рёбра. Это значит, что для любых двух рёбер существует симметрия паркета, совмещающая первое ребро со вторым.
3. У изоэдрического (гране-транзитивного) паркета «равноправны» все грани. Это значит, что для любых двух граней существует симметрия паркета, совмещающая первую грань со второй.
Под симметрией паркета здесь понимается такое перемещение плоскости, при котором весь паркет точно совмещается сам с собой. Легко убедиться, что сочетание всех трёх свойств возможно только для паркета, состоящего из одинаковых правильных многоугольников.

Начните с лёгкой задачи - перечислите все правильные паркеты на поверхности сферы. Подсказка: пусть и в совершенно других терминах, но решение этой задачи фактически содержится в школьных учебниках стереометрии.

Затем попытайтесь перечислить или хотя бы построить примеры паркетов на поверхности сферы, обладающих только какими-то двумя из этих трёх свойств. Или только одним.

Наконец, поставьте все эти же вопросы в случае плоского тора. Не пугайтесь незнакомого названия! Под плоским тором геометры понимают обычный прямоугольник, у которого мысленно "склеены" противоположные стороны. Удобно представлять себе плоский тор в виде прямоугольного экрана, изображение на котором при перемещении за край экрана "возвращается" с противоположной стороны.

Если связать с плоскостью её разбиение на равные прямоугольники и в каждом из них повторить изображение с экрана, то получится узор, напоминающий известные графические работы Мориса Эшера. Задачи о перечислении изогональных, изотоксальных и изоэдрических разбиений плоскости решили Грюнбаум (Grünbaum, Branko) и Шепард (Shephard, G.C.) ещё в конце 1970-х годов. К сожалению, их замечательная книга "Tilings and Patterns" вышла в самый разгар перестройки в СССР, из-за чего осталась без русского перевода.

Принципиальное отличие плоского тора и сферы от плоскости в контексте этой задачи - конечность их площади. Отсюда следует, что паркет обязан состоять из конечного числа фигур. Искривлённость сферы мешает тому, чтобы это число оказалось слишком большим. Так как в случае плоского тора это не так, то при необходимости Вы сами можете ввести ограничение на число фигур.
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments