Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Category:

Ориентация в линейных пространствах и на улицах города

Хочу предложить склонным к математике френдам ещё один занимательный сюжет по мотивам моих лекций на гуманитарном факультете ИТМО. Понятие «ориентации» имеет много разных смыслов. Речь пойдёт о том, которое используется в многомерной и дифференциальной геометрии.
Говоря о последней, нельзя не упомянуть ленту Мёбиуса, бутылку Клейна, проективную плоскость и другие многообразия (поверхности), на которых ориентацию вообще невозможно ввести. Гораздо чаще ориентация отсутствует по другой причине: она не интересна в конкретном контексте. В зависимости от решаемой задачи, говорить об ориентации можно с помощью таких слов как «направление» (луча, вектора или криволинейной траектории движения), «сторона» (по отношению к поверхности или иной границе), «правая (левая)» (рука, резьба, система координат, тройка векторов), «по часовой стрелке» (или против неё) и др.
Здесь нужно заметить, что важна не ориентация сама по себе, а сравнение одной ориентации с другой (совпадают они или противоположны).
К сожалению, почти во всех учебниках стандартных курсов высшей математики об ориентации вообще не говорится, а сопутствующие вопросы изложены крайне небрежно (чаще всего, ориентация задана по умолчанию в зависимости от выбора системы координат). Это неизбежно приводит к путанице и обилию ошибок. Например, в левой системе координат формулы для вычисления векторного или смешанного произведения дадут противоположный по знаку результат в сравнении с «правилом правой руки». Разовую ошибку в знаке легко исправить. Однако при вычислении площади невыпуклого многоугольника или объёма невыпуклого многогранника сложной конфигурации методом разбиения их на симплексы, речь пойдёт об ошибках в знаках у каждого из большого числа слагаемых, что резко уменьшает шанс получить верный ответ.
В линейных пространствах ориентацию всегда можно ввести, причём она задаётся одним из двух возможных способов. В физике и ряде прикладных дисциплин выбор ориентации фиксируют с помощью «правила буравчика» или иных ссылок на общеизвестные объекты из реального мира. Однако такой подход абсолютно неприемлем в аксиоматическом изложении математического курса.
Лучше всего определять ориентацию линейных пространств индукцией по их размерности d. Базовое определение даётся для d=0, а индукционный переход, как обычно, от d к d+1.
Если d=0, то линейное пространство вырождается в точку. Оно может быть неориентированным (то есть ориентация не задана), либо ориентированным. Во втором случае разумно интерпретировать ориентацию как знак (например, размещённого в этой точке электрического заряда).
Линейное пространство размерности d=1 – это прямая. Каждая точка на прямой разбивает её на два луча. Можно выбрать один из этих лучей.
Итак, с точкой на прямой можно связать две разные по смыслу ориентации: внутреннюю (знак) и внешнюю (направление луча). Если взять две точки, то у каждой из них может быть своя внутренняя ориентация и своя внешняя. В принципе, они могут оказаться никак не связаны между собой.
Однако удобно связать эти ориентации, задав несложное правило их согласования. Если внутренние ориентации точек (их знаки) совпали, то должны совпасть и внешние ориентации (направления лучей). Напротив, если внутренние ориентации точек различны (знаки противоположны), то и лучи надо направить навстречу друг другу. Как только правило согласования распространяется на ВСЕ ориентированные точки данной прямой, то можно говорить о положительном или отрицательном направлениях лучей на ней.
Для выбора такого правила тоже есть две возможности: в качестве положительного можно принять либо одно направление, либо противоположное. Это и есть две возможности задать ориентацию на самой прямой.
Аналогично, ориентация линейного пространства размерности d+1 определяется как единообразное правило согласования внутренних и внешних ориентаций всех его ориентированных подпространств размерности d. При наличии системы координат это правило сводится к единообразию в выборе направления для последней координатной оси.
Разберём подробнее второй шаг индукционного перехода: от d=1 к d=2.
Линейное пространство размерности d=2 – это обычная плоскость. Каждая прямая разбивает её на две полуплоскости. Можно выбрать (любую) одну из них.
Итак, с прямой на плоскости можно связать две разных ориентации: внутреннюю (направление) и внешнюю (выбор стороны для полуплоскости). Если взять две прямые, то у каждой из них может быть своя внутренняя ориентация и своя внешняя. В принципе, они могут оказаться никак не связаны между собой. Ориентация плоскости – это единообразное правило их согласования.
Прекрасной иллюстрацией ориентации плоскости служат правила для нумерации домов на улицах городов.
К сожалению, иногда в нумерации домов царит хаос. Например, на одной из улиц Мурманска я обнаружил такую последовательность номеров: 36, 38, 1, 2, 3, 4, 5, 40. Подобные случаи сильно осложняют работу скорой помощи, такси и т.п.
Поэтому почти всегда дома нумеруют по порядку. Тем самым появляется внутренняя ориентация улицы: то направление на ней, в котором возрастают номера домов.
Более того, почти всегда дома с номерами разной чётности находятся на противоположных сторонах улицы. Тем самым появляется внешняя ориентация улицы: возможность различать «чётную» и «нечётную» её стороны.
Согласовать две ориентации улиц можно двумя разными способами.
Если Вы окажетесь в начале какой-либо улицы в Санкт-Петербурге и встанете лицом в направлении возрастания номеров домов на ней, то нечётная сторона окажется справа от Вас, а чётная – слева.
Но если Вы встанете точно так же в начале какой-либо улицы в Москве, то нечётная сторона окажется слева от Вас, а чётная – справа.
Таким образом, появляется возможность говорить о «питерской» или «московской» ориентации. Обратите внимание на то, что это понятие ориентации относится не к отдельным улицам (прямым), а к городу в целом (плоскости).
Приехав в любой город, Вы можете определить, есть ли у него ориентация и какая именно. Для этого надо посмотреть, как согласованы ориентации его улиц. Если для всех улиц действует одно и то же правило, то город ориентирован (либо по-питерски, либо по-московски).
Однако ориентации может и не быть. Наиболее крупный из известных мне неориентированных городов – Кинешма (в Ивановской области). Там на одной половине улиц действует одно правило согласования, а на другой – противоположное.
Впрочем, в строгом смысле ориентации нет даже в Санкт-Петербурге и Москве. Оба мегаполиса в процессе своего роста проглотили несколько заводских посёлков, в которых действовало противоположное правило согласования, а перенумеровывать дома в них не сочли нужным.
Напрашивается домашнее задание. Выберите небольшой город (лучше всего, если подойдёт город, в котором родились или жили Вы сами, либо кто-то из Ваших предков). Погуляйте по нему (или скачайте карту с номерами домов из интернета). Нарисуйте упрощённую схему города, на которой изобразите улицы отрезками, их направления – стрелками, а штриховкой вдоль улиц выделите нечётные стороны. Сделайте на основании такой схемы вывод, есть ли у Вашего города ориентация и какая именно.
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 15 comments