Говоря о последней, нельзя не упомянуть ленту Мёбиуса, бутылку Клейна, проективную плоскость и другие многообразия (поверхности), на которых ориентацию вообще невозможно ввести. Гораздо чаще ориентация отсутствует по другой причине: она не интересна в конкретном контексте. В зависимости от решаемой задачи, говорить об ориентации можно с помощью таких слов как «направление» (луча, вектора или криволинейной траектории движения), «сторона» (по отношению к поверхности или иной границе), «правая (левая)» (рука, резьба, система координат, тройка векторов), «по часовой стрелке» (или против неё) и др.
Здесь нужно заметить, что важна не ориентация сама по себе, а сравнение одной ориентации с другой (совпадают они или противоположны).
К сожалению, почти во всех учебниках стандартных курсов высшей математики об ориентации вообще не говорится, а сопутствующие вопросы изложены крайне небрежно (чаще всего, ориентация задана по умолчанию в зависимости от выбора системы координат). Это неизбежно приводит к путанице и обилию ошибок. Например, в левой системе координат формулы для вычисления векторного или смешанного произведения дадут противоположный по знаку результат в сравнении с «правилом правой руки». Разовую ошибку в знаке легко исправить. Однако при вычислении площади невыпуклого многоугольника или объёма невыпуклого многогранника сложной конфигурации методом разбиения их на симплексы, речь пойдёт об ошибках в знаках у каждого из большого числа слагаемых, что резко уменьшает шанс получить верный ответ.
В линейных пространствах ориентацию всегда можно ввести, причём она задаётся одним из двух возможных способов. В физике и ряде прикладных дисциплин выбор ориентации фиксируют с помощью «правила буравчика» или иных ссылок на общеизвестные объекты из реального мира. Однако такой подход абсолютно неприемлем в аксиоматическом изложении математического курса.
Лучше всего определять ориентацию линейных пространств индукцией по их размерности d. Базовое определение даётся для d=0, а индукционный переход, как обычно, от d к d+1.
Если d=0, то линейное пространство вырождается в точку. Оно может быть неориентированным (то есть ориентация не задана), либо ориентированным. Во втором случае разумно интерпретировать ориентацию как знак (например, размещённого в этой точке электрического заряда).
Линейное пространство размерности d=1 – это прямая. Каждая точка на прямой разбивает её на два луча. Можно выбрать один из этих лучей.
Итак, с точкой на прямой можно связать две разные по смыслу ориентации: внутреннюю (знак) и внешнюю (направление луча). Если взять две точки, то у каждой из них может быть своя внутренняя ориентация и своя внешняя. В принципе, они могут оказаться никак не связаны между собой.
Однако удобно связать эти ориентации, задав несложное правило их согласования. Если внутренние ориентации точек (их знаки) совпали, то должны совпасть и внешние ориентации (направления лучей). Напротив, если внутренние ориентации точек различны (знаки противоположны), то и лучи надо направить навстречу друг другу. Как только правило согласования распространяется на ВСЕ ориентированные точки данной прямой, то можно говорить о положительном или отрицательном направлениях лучей на ней.
Для выбора такого правила тоже есть две возможности: в качестве положительного можно принять либо одно направление, либо противоположное. Это и есть две возможности задать ориентацию на самой прямой.
Аналогично, ориентация линейного пространства размерности d+1 определяется как единообразное правило согласования внутренних и внешних ориентаций всех его ориентированных подпространств размерности d. При наличии системы координат это правило сводится к единообразию в выборе направления для последней координатной оси.
Разберём подробнее второй шаг индукционного перехода: от d=1 к d=2.
Линейное пространство размерности d=2 – это обычная плоскость. Каждая прямая разбивает её на две полуплоскости. Можно выбрать (любую) одну из них.
Итак, с прямой на плоскости можно связать две разных ориентации: внутреннюю (направление) и внешнюю (выбор стороны для полуплоскости). Если взять две прямые, то у каждой из них может быть своя внутренняя ориентация и своя внешняя. В принципе, они могут оказаться никак не связаны между собой. Ориентация плоскости – это единообразное правило их согласования.
Прекрасной иллюстрацией ориентации плоскости служат правила для нумерации домов на улицах городов.
К сожалению, иногда в нумерации домов царит хаос. Например, на одной из улиц Мурманска я обнаружил такую последовательность номеров: 36, 38, 1, 2, 3, 4, 5, 40. Подобные случаи сильно осложняют работу скорой помощи, такси и т.п.
Поэтому почти всегда дома нумеруют по порядку. Тем самым появляется внутренняя ориентация улицы: то направление на ней, в котором возрастают номера домов.
Более того, почти всегда дома с номерами разной чётности находятся на противоположных сторонах улицы. Тем самым появляется внешняя ориентация улицы: возможность различать «чётную» и «нечётную» её стороны.
Согласовать две ориентации улиц можно двумя разными способами.
Если Вы окажетесь в начале какой-либо улицы в Санкт-Петербурге и встанете лицом в направлении возрастания номеров домов на ней, то нечётная сторона окажется справа от Вас, а чётная – слева.
Но если Вы встанете точно так же в начале какой-либо улицы в Москве, то нечётная сторона окажется слева от Вас, а чётная – справа.
Таким образом, появляется возможность говорить о «питерской» или «московской» ориентации. Обратите внимание на то, что это понятие ориентации относится не к отдельным улицам (прямым), а к городу в целом (плоскости).
Приехав в любой город, Вы можете определить, есть ли у него ориентация и какая именно. Для этого надо посмотреть, как согласованы ориентации его улиц. Если для всех улиц действует одно и то же правило, то город ориентирован (либо по-питерски, либо по-московски).
Однако ориентации может и не быть. Наиболее крупный из известных мне неориентированных городов – Кинешма (в Ивановской области). Там на одной половине улиц действует одно правило согласования, а на другой – противоположное.
Впрочем, в строгом смысле ориентации нет даже в Санкт-Петербурге и Москве. Оба мегаполиса в процессе своего роста проглотили несколько заводских посёлков, в которых действовало противоположное правило согласования, а перенумеровывать дома в них не сочли нужным.
Напрашивается домашнее задание. Выберите небольшой город (лучше всего, если подойдёт город, в котором родились или жили Вы сами, либо кто-то из Ваших предков). Погуляйте по нему (или скачайте карту с номерами домов из интернета). Нарисуйте упрощённую схему города, на которой изобразите улицы отрезками, их направления – стрелками, а штриховкой вдоль улиц выделите нечётные стороны. Сделайте на основании такой схемы вывод, есть ли у Вашего города ориентация и какая именно.
Journal information