Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 7 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2011 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/569578.html .

Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .



Задача 2

Пусть размеры были: a, b и c, а стали xa, yb и zc. Тогда

xa∙yb = ab(1 - 0.28)

xa∙zc = ac*(1 - 0.37)

yb∙zc = bc*(1 - 0.44)

После сокращения получаем:

xy = 0.72 = 0.9∙0.8

xz = 0.63 = 0.9∙0.7

yz = 0.56 = 0.8∙0.7

Теперь легко подобрать x=0.9 , y=0.8 и z=0.7 .

Объём уменьшился на (1-0.9∙0.8∙0.7)∙100% = 49.6%.




Задача 3

Меньше 9 цветов получить нельзя, так как у клеток посередине поля по 8 соседних, они должны быть разного цвета (8 цветов); сама клетка должна быть отличной по цвету от соседних (иначе, если она одного цвета с соседней, для клетки, которая имеет с ними общую вершину, соседние имеют один цвет) (9-й цвет).
Варианты раскраски могут быть разные, например:
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
Ответ: 9.

Задача 4

Фермеры ранее закупили где-то сталь и уголь.
1-ый хочет получить 25*18+29*19=1001(€), 2-ой 26*19+28*20=1054(€).
Назначим цену на тонну стали x €, тонну угля y €. Получим 18x + 19y = 1001 и 19x + 20y = 1054.
Разность этих уравнений позволяет найти х+у=53.
Ответ: цена тонны стали 6€, тонны угля 47€.

Задача 5

Надо выбрать такие катушки, чтобы было как можно больше комбинаций последних трёх цифр, суммы которых равны. Сумма трёх цифр от 0 до 27.
Наименьшее число комбинаций (1) – если сумма 0 или 27.
Наибольшее число комбинаций – если сумма 13 или 14.
Для суммы трёх цифр 13
1-ая цифра – любая;
2-ая цифра должна быть такой, чтобы сумма могла быть 13
если 1-ая цифра всего комб. 2-ая цифра нужн. комб.
0 100 4..9 60
1 100 3..9 70
2 100 2..9 80
3 100 1..9 90
4 100 0..9 100
5 100 0..8 90
6 100 0..7 80
7 100 0..6 70
8 100 0..5 60
9 100 0..4 50
3-я цифра должна дополнить сумму до 13 (одна из 10).
Наибольшее число счастливых билетов в катушке
(60+70+80+90+100+90+80+70+60+50)/10 = 75.
Для суммы трёх цифр 14 количество комбинаций такое же (комбинации можно получить из предыдущих 75 заменой 0 на 9, 1 на 8, …, 9 на 0). (Счастливых билетов в катушках, где суммы трех цифр менее 13 или более 14 меньше, например:
для суммы 12 или 15 7+8+9+10+9+8+7+6+5+4 = 73,
для суммы 11 или 16 8+9+10+9+8+7+6+5+4+3 = 69,
для суммы 10 или 17 9+10+9+8+7+6+5+4+3+2 = 63,
для суммы 9 или 18 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 55;
для суммы 8 или 19 9+8+7+6+5+4+3+2+1+0 = 45;
для суммы 7 или 20 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36;
для суммы 6 или 21 7+6+5+4+3+2+1= 28;
для суммы 5 или 22 6+5+4+3+2+1= 21;
для суммы 4 или 23 5+4+3+2+1= 15;
для суммы 3 или 24 4+3+2+1= 10;
для суммы 2 или 25 3+2+1= 6; для суммы 1 или 26 2+1= 3).
Катушек с суммой трёх первых цифр 13 в серии 75 (см. выше), с суммой трёх первых цифр 14 тоже 75. Всего 150.
Ответ: 75 билетов, 150 катушек.


Задача 6

Ответ: 2, 2, 3.
Примеры: 1001, 1001, 10101.
Доказательство минимальности последнего следует из признака делимости на 3.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments