Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .
Задача 2
Пусть размеры были: a, b и c, а стали xa, yb и zc. Тогда
xa∙yb = ab(1 - 0.28)
xa∙zc = ac*(1 - 0.37)
yb∙zc = bc*(1 - 0.44)
После сокращения получаем:
xy = 0.72 = 0.9∙0.8
xz = 0.63 = 0.9∙0.7
yz = 0.56 = 0.8∙0.7
Теперь легко подобрать x=0.9 , y=0.8 и z=0.7 .
Объём уменьшился на (1-0.9∙0.8∙0.7)∙100% = 49.6%.
Задача 3
Меньше 9 цветов получить нельзя, так как у клеток посередине поля по 8 соседних, они должны быть разного цвета (8 цветов); сама клетка должна быть отличной по цвету от соседних (иначе, если она одного цвета с соседней, для клетки, которая имеет с ними общую вершину, соседние имеют один цвет) (9-й цвет).
Варианты раскраски могут быть разные, например:
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
Ответ: 9.
Задача 4
Фермеры ранее закупили где-то сталь и уголь.
1-ый хочет получить 25*18+29*19=1001(€), 2-ой 26*19+28*20=1054(€).
Назначим цену на тонну стали x €, тонну угля y €. Получим 18x + 19y = 1001 и 19x + 20y = 1054.
Разность этих уравнений позволяет найти х+у=53.
Ответ: цена тонны стали 6€, тонны угля 47€.
Задача 5
Надо выбрать такие катушки, чтобы было как можно больше комбинаций последних трёх цифр, суммы которых равны. Сумма трёх цифр от 0 до 27.
Наименьшее число комбинаций (1) – если сумма 0 или 27.
Наибольшее число комбинаций – если сумма 13 или 14.
Для суммы трёх цифр 13
1-ая цифра – любая;
2-ая цифра должна быть такой, чтобы сумма могла быть 13
если 1-ая цифра всего комб. 2-ая цифра нужн. комб.
0 100 4..9 60
1 100 3..9 70
2 100 2..9 80
3 100 1..9 90
4 100 0..9 100
5 100 0..8 90
6 100 0..7 80
7 100 0..6 70
8 100 0..5 60
9 100 0..4 50
3-я цифра должна дополнить сумму до 13 (одна из 10).
Наибольшее число счастливых билетов в катушке
(60+70+80+90+100+90+80+70+60+50)/10 = 75.
Для суммы трёх цифр 14 количество комбинаций такое же (комбинации можно получить из предыдущих 75 заменой 0 на 9, 1 на 8, …, 9 на 0). (Счастливых билетов в катушках, где суммы трех цифр менее 13 или более 14 меньше, например:
для суммы 12 или 15 7+8+9+10+9+8+7+6+5+4 = 73,
для суммы 11 или 16 8+9+10+9+8+7+6+5+4+3 = 69,
для суммы 10 или 17 9+10+9+8+7+6+5+4+3+2 = 63,
для суммы 9 или 18 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 55;
для суммы 8 или 19 9+8+7+6+5+4+3+2+1+0 = 45;
для суммы 7 или 20 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36;
для суммы 6 или 21 7+6+5+4+3+2+1= 28;
для суммы 5 или 22 6+5+4+3+2+1= 21;
для суммы 4 или 23 5+4+3+2+1= 15;
для суммы 3 или 24 4+3+2+1= 10;
для суммы 2 или 25 3+2+1= 6; для суммы 1 или 26 2+1= 3).
Катушек с суммой трёх первых цифр 13 в серии 75 (см. выше), с суммой трёх первых цифр 14 тоже 75. Всего 150.
Ответ: 75 билетов, 150 катушек.
Задача 6
Ответ: 2, 2, 3.
Примеры: 1001, 1001, 10101.
Доказательство минимальности последнего следует из признака делимости на 3.
Journal information