Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 8 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2011 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/569178.html .

Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .



Задача 2

Пусть размеры были: a, b и c, а стали xa, yb и zc. Тогда

xa∙yb = ab(1 - 0.28)

xa∙zc = ac*(1 - 0.37)

yb∙zc = bc*(1 - 0.44)

После сокращения получаем:

xy = 0.72 = 0.9∙0.8

xz = 0.63 = 0.9∙0.7

yz = 0.56 = 0.8∙0.7

Теперь легко подобрать x=0.9 , y=0.8 и z=0.7 .

Объём уменьшился на (1-0.9∙0.8∙0.7)∙100% = 49.6%.




Задача 3

Меньше 9 цветов получить нельзя, так как у клеток посередине поля по 8 соседних, они должны быть разного цвета (8 цветов); сама клетка должна быть отличной по цвету от соседних (иначе, если она одного цвета с соседней, для клетки, которая имеет с ними общую вершину, соседние имеют один цвет) (9-й цвет).
Варианты раскраски могут быть разные, например:
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
Ответ: 9.

Задача 4

Пусть красных точек x, а синих y. Проведено отрезков
xy=2011.
Так как 2011 – простое число, то должно быть 2011 точек одного цвета и одна другого. Всего - 2012.
Ответ: 2012.


Задача 5

По условию, грани кубиков закрашены единообразно, т.е. кубики одинаковые.
Коля прикладывает (или приклеивает) друг к другу кубики. Как бы ни был повернут в пространстве 1-ый кубик, три склеенных с ним повернуты так же (известны цвета двух граней каждого). Поэтому на поверхности большого куба будут все шесть цветов, и расположены они будут так же, как на маленьком кубике.
Ответ: 6 цветов.

Задача 6

1-ый фермер хочет получить 45*21+49*23=2072(€), 2-ой 46*23+48*25=2258(€).
Назначим цену на тонну мяса x €, тонну молока y €.
Получим 21x + 23y = 2072 и 23x + 25y = 2258 .
Разность этих уравнений позволяет найти х+у.
Ответ: цена тонны мяса 33,5 €, тонны молока 59,5 €.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp march 17, 11:19 27
Buy for 10 tokens
Здесь не нужен обширный исторический экскурс, но небольшое введение я считаю не лишним. Прежде всего, я вспоминаю лично прослушанные на ФПК в МГУ лекции великого математика Арнольда по теории катастроф. Одним из примеров он назвал превращение маньяков в гениев (и обратно) в науке. История науки…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments