Решения задач для 8 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2011 года)
Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/569178.html .
Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .
Задача 2
Пусть размеры были: a, b и c, а стали xa, yb и zc. Тогда
xa∙yb = ab(1 - 0.28)
xa∙zc = ac*(1 - 0.37)
yb∙zc = bc*(1 - 0.44)
После сокращения получаем:
xy = 0.72 = 0.9∙0.8
xz = 0.63 = 0.9∙0.7
yz = 0.56 = 0.8∙0.7
Теперь легко подобрать x=0.9 , y=0.8 и z=0.7 .
Объём уменьшился на (1-0.9∙0.8∙0.7)∙100% = 49.6%.
Задача 3
Меньше 9 цветов получить нельзя, так как у клеток посередине поля по 8 соседних, они должны быть разного цвета (8 цветов); сама клетка должна быть отличной по цвету от соседних (иначе, если она одного цвета с соседней, для клетки, которая имеет с ними общую вершину, соседние имеют один цвет) (9-й цвет).
Варианты раскраски могут быть разные, например:
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
Ответ: 9.
Задача 4
Пусть красных точек x, а синих y. Проведено отрезков
xy=2011.
Так как 2011 – простое число, то должно быть 2011 точек одного цвета и одна другого. Всего - 2012.
Ответ: 2012.
Задача 5
По условию, грани кубиков закрашены единообразно, т.е. кубики одинаковые.
Коля прикладывает (или приклеивает) друг к другу кубики. Как бы ни был повернут в пространстве 1-ый кубик, три склеенных с ним повернуты так же (известны цвета двух граней каждого). Поэтому на поверхности большого куба будут все шесть цветов, и расположены они будут так же, как на маленьком кубике.
Ответ: 6 цветов.
Задача 6
1-ый фермер хочет получить 45*21+49*23=2072(€), 2-ой 46*23+48*25=2258(€).
Назначим цену на тонну мяса x €, тонну молока y €.
Получим 21x + 23y = 2072 и 23x + 25y = 2258 .
Разность этих уравнений позволяет найти х+у.
Ответ: цена тонны мяса 33,5 €, тонны молока 59,5 €.
Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .
Задача 2
Пусть размеры были: a, b и c, а стали xa, yb и zc. Тогда
xa∙yb = ab(1 - 0.28)
xa∙zc = ac*(1 - 0.37)
yb∙zc = bc*(1 - 0.44)
После сокращения получаем:
xy = 0.72 = 0.9∙0.8
xz = 0.63 = 0.9∙0.7
yz = 0.56 = 0.8∙0.7
Теперь легко подобрать x=0.9 , y=0.8 и z=0.7 .
Объём уменьшился на (1-0.9∙0.8∙0.7)∙100% = 49.6%.
Задача 3
Меньше 9 цветов получить нельзя, так как у клеток посередине поля по 8 соседних, они должны быть разного цвета (8 цветов); сама клетка должна быть отличной по цвету от соседних (иначе, если она одного цвета с соседней, для клетки, которая имеет с ними общую вершину, соседние имеют один цвет) (9-й цвет).
Варианты раскраски могут быть разные, например:
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
4 5 6 4 5 6 4
7 8 9 7 8 9 7
1 2 3 1 2 3 1
Ответ: 9.
Задача 4
Пусть красных точек x, а синих y. Проведено отрезков
xy=2011.
Так как 2011 – простое число, то должно быть 2011 точек одного цвета и одна другого. Всего - 2012.
Ответ: 2012.
Задача 5
По условию, грани кубиков закрашены единообразно, т.е. кубики одинаковые.
Коля прикладывает (или приклеивает) друг к другу кубики. Как бы ни был повернут в пространстве 1-ый кубик, три склеенных с ним повернуты так же (известны цвета двух граней каждого). Поэтому на поверхности большого куба будут все шесть цветов, и расположены они будут так же, как на маленьком кубике.
Ответ: 6 цветов.
Задача 6
1-ый фермер хочет получить 45*21+49*23=2072(€), 2-ой 46*23+48*25=2258(€).
Назначим цену на тонну мяса x €, тонну молока y €.
Получим 21x + 23y = 2072 и 23x + 25y = 2258 .
Разность этих уравнений позволяет найти х+у.
Ответ: цена тонны мяса 33,5 €, тонны молока 59,5 €.