Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .
Задача 2
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Из условия имеем, что угол, вершина которого в к-ой точке, равен 30°, т.е. он опирается на дугу в 60°
Далее возможны два случая.
1). Конечная точка n принадлежит дуге в 60°. Тогда, дуга от точки 1 до точки 2011 по часовой стрелке равна 300° и делится на 2010 равных дуг (по числу сторон), т.е. 300/2010==10/67 °– одна дуга.
Дуга от точки 1 до точки 2011 против часовой стрелки равна 60° и делится на n-2010 дуг, т.е. 60/( n-2010)=10/67. Значит, n=(60*67+20100)/10=2412.
2). Конечная вершина n не лежит на дуге в 60°. Дуга от точки 1 до точки 2011 по часовой стрелке равен 60° , т.е. дуга между соседними вершинами: 60/2010=2/67 °
Дуга от точки 1 до точки 2011 против часовой стрелки равна 300 °и делится на
n-2010 равных дуг, т.е. 300/( n-2010)=2/67. Значит, n=(300*67+2*2010)/2=12060.
Ответ: 2412 или 12060.
Задача 3
Перебирая d>3 и обязательно четное, т.к. 2011=2*d*n+1, получаем:
20116= 43910 - простое число
20118 = 103310 - простое число
201110 – также простое число.
201112=346910 – простое число
Ответ: 439 (основание 6), 1033 (основание 8), 2011 (основание 10), 3469 (основание 12).
Задача 4
Ломаная состоит из 10 звеньев (она замкнется при проведении 11-го отрезка, вторая половина которого наложится на первый). Сделав чертёж, легко убедиться, что у неё 16 точек самопересечения.
Задача 5
Т.к. в большом кубе у каждых двух соседних маленьких кубиков совпадают по цвету две грани, и три грани каждого кубика принадлежат трем граням большого куба, то положение каждого кубика однозначно ( любой поворот нарушит условие Коли), т.е. поверхность большого куба будет окрашена во все 6 цветов.
Ответ: 6
Задача 6
Пусть х евро – цена масла, у евро – цена сыра , которые назначил перекупщик.
71*55+73*59=8212 евро – должен получит 1-й фермер.
73*56+75*58=8438 евро – должен получить 2-й фермер.
Имеем систему уравнений: 71х+73у=8212 и 73х+75у=8438 .
Разность этих уравнений позволяет найти х+у.
Ответ: 18,5 евро –цена масла, 94,5 евро – цена сыра.
Journal information