Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 9 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2011 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/568964.html .

Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .



Задача 2

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Из условия имеем, что угол, вершина которого в к-ой точке, равен 30°, т.е. он опирается на дугу в 60°
Далее возможны два случая.
1). Конечная точка n принадлежит дуге в 60°. Тогда, дуга от точки 1 до точки 2011 по часовой стрелке равна 300° и делится на 2010 равных дуг (по числу сторон), т.е. 300/2010==10/67 °– одна дуга.
Дуга от точки 1 до точки 2011 против часовой стрелки равна 60° и делится на n-2010 дуг, т.е. 60/( n-2010)=10/67. Значит, n=(60*67+20100)/10=2412.
2). Конечная вершина n не лежит на дуге в 60°. Дуга от точки 1 до точки 2011 по часовой стрелке равен 60° , т.е. дуга между соседними вершинами: 60/2010=2/67 °
Дуга от точки 1 до точки 2011 против часовой стрелки равна 300 °и делится на
n-2010 равных дуг, т.е. 300/( n-2010)=2/67. Значит, n=(300*67+2*2010)/2=12060.
Ответ: 2412 или 12060.




Задача 3

Перебирая d>3 и обязательно четное, т.к. 2011=2*d*n+1, получаем:
20116= 43910 - простое число
20118 = 103310 - простое число
201110 – также простое число.
201112=346910 – простое число
Ответ: 439 (основание 6), 1033 (основание 8), 2011 (основание 10), 3469 (основание 12).


Задача 4

Ломаная состоит из 10 звеньев (она замкнется при проведении 11-го отрезка, вторая половина которого наложится на первый). Сделав чертёж, легко убедиться, что у неё 16 точек самопересечения.

Задача 5

Т.к. в большом кубе у каждых двух соседних маленьких кубиков совпадают по цвету две грани, и три грани каждого кубика принадлежат трем граням большого куба, то положение каждого кубика однозначно ( любой поворот нарушит условие Коли), т.е. поверхность большого куба будет окрашена во все 6 цветов.
Ответ: 6


Задача 6

Пусть х евро – цена масла, у евро – цена сыра , которые назначил перекупщик.
71*55+73*59=8212 евро – должен получит 1-й фермер.
73*56+75*58=8438 евро – должен получить 2-й фермер.
Имеем систему уравнений: 71х+73у=8212 и 73х+75у=8438 .
Разность этих уравнений позволяет найти х+у.
Ответ: 18,5 евро –цена масла, 94,5 евро – цена сыра.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments