Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 10 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2011 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/568648.html .

Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .



Задача 2

Пусть красных точек x, а синих y. Проведено отрезков xy=2011.
Так как 2011 – простое число, то должно быть 2011 точек одного цвета и одна другого. Всего - 2012.
Ответ: 2012.



Задача 3

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Из условия имеем, что угол, вершина которого в к-ой точке, равен 30°, т.е. он опирается на дугу в 60°
Далее возможны два случая.
1). Конечная точка n принадлежит дуге в 60°. Тогда, дуга от точки 1 до точки 2011 по часовой стрелке равна 300° и делится на 2010 равных дуг (по числу сторон), т.е. 300/2010==10/67 °– одна дуга.
Дуга от точки 1 до точки 2011 против часовой стрелки равна 60° и делится на n-2010 дуг, т.е. 60/( n-2010)=10/67. Значит, n=(60*67+20100)/10=2412.
2). Конечная вершина n не лежит на дуге в 60°. Дуга от точки 1 до точки 2011 по часовой стрелке равен 60° , т.е. дуга между соседними вершинами: 60/2010=2/67 °
Дуга от точки 1 до точки 2011 против часовой стрелки равна 300 °и делится на
n-2010 равных дуг, т.е. 300/( n-2010)=2/67. Значит, n=(300*67+2*2010)/2=12060.
Ответ: 2412 или 12060.


Задача 4

Обозначим через А сумму нужных чисел, через В − сумму их квадратов, а через С=2011 − сумму их попарных произведений. Известная формула для квадрата суммы превращается в случае большого числа слагаемых в А2=В+2С=В+4022. Отсюда следует, что А>√4022, то есть А≥64.
Проверим, может ли быть А=64. Так как в этом случае А2=4096, то должно быть В=74.
Как набрать разность В−А=10 ? Заметим, что она складывается почленно из неотрицательных разностей 12−1=0 , 22−2=2 , 32−3=6 , 42−4=12 и т.д. Легко видеть, что нельзя использовать даже 4, не говоря о больших слагаемых. Если не учитывать нулевые разности 12−1 , то набрать 10 можно двумя способами: как 6+2+2 или 2+2+2+2+2. Значит, в самой сумме к 3+2+2 или 2+2+2+2+2 нужно добавить недостающее число единиц, чтобы получить А=64. В первом случае нужно добавить 57 единиц, а во втором − 54. Легко убедиться, что для обоих вариантов выполнены все требования условия задачи.
Ответ: 64.


Задача 5

Легко убедиться, что левая часть уравнения возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного натурального корня. Теперь его легко найти подбором: n=3.

Задача 6

Чтобы сократить запись, удобно ввести «дополнительные» переменные u=1─x , v=1─y и w=1─z , после чего условие задачи примет следующий вид:
«Известно, что 0≤w≤v≤u≤1 , uv=2/3 , vw=1/3. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения uw.»
Так как три новые переменные связаны двумя соотношениями, то одну из них можно считать независимой, а две оставшиеся – её функциями. Удобнее выразить u=2/3v , w=1/3v , после чего получим задачу о поиске наименьшего и наибольшего возможных значений функции 2/9v2 при условии 0≤1/(3v) ≤v≤ 2/(3v) ≤1 . Легко видеть, что функция 2/9v2 монотонно убывает с ростом v . Поэтому её наименьшее и наибольшее возможные значения достигаются соответственно при наибольшем и наименьшем допустимых значениях v . Найдём их
Неравенство 0≤1/(3v) выполняется при всех v>0 .
Из неравенства 1/(3v) ≤v следует, что v≥√3 /3 .
Из неравенства v≤ 2/(3v) следует, что v≤√6 /3 .
Наконец, из неравенства 2/(3v) ≤1 следует, что v≥2/3 .
Соединяя четыре последних вывода вместе, получаем 2/3 v≤√6 /3 .
Итак, наименьшее возможное значение функции 2/9v2 достигается при v=√6 /3 и равно 1/3 , а наибольшее возможное значение функции 2/9v2 достигается при v=2/3 и равно 1/2 . Эти же числа 1/3 и 1/2 служат решениями исходной задачи.

Ответ: 1/3 и 1/2 .
Tags: олимпиада
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments