Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 11 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2011 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/568463.html .

Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .



Задача 2

Пусть красных точек x, а синих y. Проведено отрезков xy=2011.
Так как 2011 – простое число, то должно быть 2011 точек одного цвета и одна другого. Всего - 2012.
Ответ: 2012.

Задача 3

Прежде всего, заметим, что если числа не обязательно целые, то минимум a+b+c достигается в случае их равенства. Так как 262=676>2011/3 , то отсюда следует, что минимум ≥78 .
Не теряя общности, можно считать, что a≤b≤c , откуда а<26 .
Теперь выразим с=(2011-ab)/(a+b)=(2011+a2)/(a+b)−а . Последняя дробь подсказывает возможность искать a+b среди делителей 2011+a2 . С учётом а<26 достаточно перебрать не более 25 возможностей для а и для каждого из них разложить 2011+a2 на множители. Так как в случае минимума a, b и c должны быть сравнительно близки друг к другу, то перебор лучше вести по убыванию а, начав с а=25.
Подстановка а=17 даёт 2011+a2 =2300=46∙50 , что приводит к b=29 , c=33 и a+b+c=79 .
Ответ: 79.


Задача 4

Теорема Виета легко сводит эту задачу к предыдущей.
Ответ: −79.


Задача 5

Легко убедиться, что левая часть уравнения возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного натурального корня. Теперь его легко найти подбором: n=3.
Ответ: n=3.


Задача 6

Весьма существенным является замечание о непрерывности функции f(g(h(x))=sin(π[x]) . Действительно, достаточно наблюдения, что [x] принимает только целые значения k, при подстановке которых sin(πk) обращается в ноль. Отсюда следует, что f(g(h(x))=sin(π[x]) тождественно обращается в ноль. Постоянная функция непрерывна.
Теперь можно построить сколько угодно новых примеров, добавляя в начале формульного выражения знаки любой функции.
Ответ: f(g(h(x)) и все более сложные композиции вида А(f(g(h(x))) , где А – любая из данных функций или даже любая их композиция.
Tags: олимпиада
Subscribe

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments